Progressions

soland · February 2018

Toute progression arithmétique $\subset \mathbb{N}$ contient une progression géométrique.

(Non triviales, bien sûr)

jandri · February 2018

La suite arithmétique $(n+\sqrt2)$ ne contient pas de progression géométrique.

Pour $x,y,z$ entiers:

$(x+\sqrt2)(z+\sqrt2)=(y+\sqrt2)^2$ entraîne $xz=y^2$ et $x+z=2y$ d'où $x=y=z$.

soland · February 2018

Toujours ces erreurs !
Enoncé rectifié.

PierreB · February 2018

Plus généralement, l'énoncé E-382 du Coin des Problèmes de Quadrature demandait de trouver tous les polynômes P à coefficients entiers pour lesquels $P(\mathbb{N})$ contient une progression géométrique non triviale (i.e. infinie et de raison $a \notin\{-1;0;1\}$).

Pierre.

soland · February 2018

Tous les nombres infra sont des entiers strictement positifs.
Soit $(a+bm)_{m\in\mathbb{N}}$ la suite arithmétique et $a+bm_0$ l'un de ses termes. Alors
$$
(a+bm_0)(1+bc)^n = (a+bm_0)\left( 1+ b \sum_{k=1}^n C_k^nb^{k-1}c^k \right) = a + b \left(\strut m_0 + \cdots \right)
$$
qui est bien de la forme $a+bm_x$.

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