calculs dans (Z/nZ)
dans Arithmétique
bonjour à toutes et à tous
donc si j'ai bien compris les règles de calculs dans (Z/nZ,+,x) par exemple dans (Z/5Z,+,x) qui est un corps on a par exemple cl(2)+cl(3)=cl(2+3)=cl(5)=cl(0) car cl(2)=2+5k et cl(3)=3+5k donc cl(2)+cl(3)=2+5k+3+5k=5+10k=5(1+2k) et donc cl(2)+cl(3)=5(1+2k)=cl(0) pour tout k dans Z de meme cl(3)+cl(4)=cl(3+4)=cl(7)=cl(2) car par raisonnement analogue cl(3)=3+5k cl(4)=4+5k et donc cl(3)+cl(4)=7+10k=5(1+2k)+2=cl(2) pour tout k dans Z
merci d'avance
cordialement
donc si j'ai bien compris les règles de calculs dans (Z/nZ,+,x) par exemple dans (Z/5Z,+,x) qui est un corps on a par exemple cl(2)+cl(3)=cl(2+3)=cl(5)=cl(0) car cl(2)=2+5k et cl(3)=3+5k donc cl(2)+cl(3)=2+5k+3+5k=5+10k=5(1+2k) et donc cl(2)+cl(3)=5(1+2k)=cl(0) pour tout k dans Z de meme cl(3)+cl(4)=cl(3+4)=cl(7)=cl(2) car par raisonnement analogue cl(3)=3+5k cl(4)=4+5k et donc cl(3)+cl(4)=7+10k=5(1+2k)+2=cl(2) pour tout k dans Z
merci d'avance
cordialement
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Réponses
Un reproche de rédaction : il faudrait quantifier le $k$ avec un "il existe" quelque part.
" cl(2)=2+5k " n'a pas trop de sens. C'est plutôt $ cl(2)=\{2+5k \mid k\in \mathbb Z\}$.
De ce fait, "cl(2)+cl(3)=2+5k+3+5k=5+10k" devient carrément faux car ce n'est pas le même $k$ qui va intervenir, à priori.
En fait, ce n'est qu'une réécriture du calcul modulo 5 :
2+3=5=0 [5]
Cordialement.
cl(4)={4+5k"/k" dans Z} donc cl(3) + cl(4)={5(k'+k"+1)+2/ k'+k" dans Z}=cl(7)=cl(2)
Je crois que cette notation est nécessaire pour tous ceux qui viennent de connaître ces ensembles.
J'irais plus loin. En effet, un "cl" ou un "point" c'est pareil.
J'utiliserais volontiers la notation ensembliste explicite (très lourde mais efficace pour comprendre ce que l'on fait).
Puis noter ces cinq ensembles : $E_5^k$, $k=0,\ldots,4$.
Ce n'est quand même pas anodin : on invente/crée/définit une arithmétique sur des ensembles.
Une remarque : $E_5^0$ est la table de $5$, non ordonnée, ça embouche un coin, tout de même.
Seulement pour les lapins de six semaines ?
Un bon exemple qui n'étonne personne : dans Z/12Z.
Il est 11h comme l'indique la petite aiguille. J'attends 3 heures et il est 2h comme elle l'indique, maintenant.
11+3=2
Une bonne vulgarisation : Z/5Z est une horloge qui ne contient que les nombres 0,1,2,3,4 (écarts de 12 minutes entre chaque nombre). L'addition est simple. La multiplication peut-être vu comme une addition répétée.
Car 11+3=14=2[12]car 14 et 2 ont même reste dans la division par 12.
On peut même écrire 11+3=12+2=2.
Mais l'argument des mêmes restes est "le" bon.
Tu sais donc tout ce qu'il y a à savoir pour l'addition dans $\mathbb Z/n \mathbb Z$. Pour la multiplication, le principe est le même (il est 15h43, je vais attendre $3/4$ d'heure, le nombre de minutes sera $42 + 3 \times 45 = 43- 3\times15 = -2 = 58 \pmod{60}$).
On a 3x4=0. Il reste 2x4=8.
Je fais : 5x4=(3+2)x4=3x4+2x4=8