Puissances négatives

Sneg · February 2018

Bonjour,

J'aimerais savoir si l'affirmation suivante est vraie :

Si $a,b$ et $c$ sont inversibles modulo $m$
alors $a^k\equiv b\times c\pmod{m}\Longrightarrow a^{-k}\equiv b^{-1}\times c^{-1}\pmod{m}$.

Si oui, comment cela se démontre-t-il ?

Merci d'avance.

AD · February 2018

Bonsoir Gil Bill
Quand dans un groupe tu veux vérifier que deux éléments $x$ et $y$ sont inverses l'un de l'autre, tu formes le produit $xy$ qui est égal à 1 ssi $y=x^{-1}$.
Alain

gb · February 2018

Bonjour,

Par unicité de l'inverse…

Sneg · February 2018

Bonsoir, Alain,
Bonsoir, gb,

Est-ce que cela signifie que mon affirmation est vraie ?
Merci d’avance.

AD · February 2018

Prouve la par toi-même !
Que vaut $a^k\times a^{-k}$ ?
Que vaut $(b\times c) \times (b^{-1}\times c^{-1})$ dans $\mathbb Z/m\mathbb Z$ ?
Alain

Sneg · February 2018

Tout cela vaut 1...mais cela ne m’avance guère.

AD · February 2018

Comment ça, cela ne t'avance guère ?
Reprends mon message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1612800,1612802#msg-1612802
Que peut-on dire de deux éléments d'un groupe dont le produit vaut 1 ?
Cela ne répond pas à ta question ?
Alain

Sneg · February 2018

Je pense avoir une idée. Mais ce soir, il est trop tard pour écrire en LaTeX avec ma tablette, dans mon lit.
Je reviendrai demain.
Merci.

Sneg · February 2018

Bonjour,
Voilà mon idée de hier soir :

Si $a$, $b$ et $c$ sont inversibles modulo $m$
alors $a^k\equiv b\cdot c\Longrightarrow a^{-k}\equiv b^{-1}\cdot c^{-1}$
car :
$a^k\cdot a^{-k}\equiv 1 \equiv b\cdot c\cdot b^{-1}\cdot c^{-1}$

C'est bien ça ?