Moyenne puissance matrice stochastique

Bonjour à tous,

Je ne sais pas si ce sujet a plus sa place dans la section algèbre ou probabilités.

On considère une matrice stochastique $P$, c'est-à-dire une matrice carrée dont chaque élément est positif et dans la somme des éléments de chaque ligne vaut $1$.

Je voudrais montrer le résultat suivant : il existe une matrice stochastique $Q$ telle que $\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k P^i\to Q$ lorsque $k\to +\infty$.

J'ai pensé à utiliser le fait que $(I-P)\sum_{i=0}^k P^i = I-P^{k+1}$, ce qui donne $(I-P)\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k P^i = \frac{1}{k+1}(I-P^{k+1})\to 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} $ lorsque $k\to +\infty$ car la suite $I-P^{k+1}$ est bornée, mais je ne parviens pas à conclure.

Merci