Un seul 6

Cidrolin · February 2018

Montrer
que $2^n$ possède un multiple de $n$ chiffres, qui ne s'écrit qu' avec
des $1$, des $2$ et un seul $6$. Il s'agit de l'écriture décimale.

Par exemple $2072384\times 2^{10}=2122121216$

Cidrolin · February 2018

Pour respecter le pluriel, je dois ajouter $n>4$.

Chaurien · February 2018

Supposons : $10a_n+6=2^n q_n$, où $a_n$ est un nombre de $n-1$ chiffres ne comprenant que des $1$ et des $2$. Si $q_n$ est pair, on ajoute $2 \times10^{n}$ et si $q_n$ est 1mpair, on ajoute $10^{n}$.

Chaurien · February 2018

$6=2 \times 3$
$16=4 \times 4$
$216=8 \times 27$
$1216=16 \times 76$
$21216=32 \times 663$
$121216=64 \times 1894$
$2121216=128 \times 16572$
et ainsi de suite...
On a peut-être même l'unicité ?

Dans une vieille feuille d'exos, j'avais :
« Démontrer que pour tout entier $n \ge 1$ il existe un multiple de $2^n$ qui s'écrit en base dix avec $n$ chiffres qui ne sont que des $1$ et des $2$ ».
C'est un exo de la collection « Récurrence ».
L'ami Cidrolin a perfectionné ça.
Bonne et belle journée.
Fr. Ch.

Corrigé d'après la remarque de Cidrolin, infra.

Cidrolin · February 2018

Bravo Chaurien. A la troisième ligne c'est 216=8x27.

J'étais parti de la suite $q_n$ définie par :

$q_{n+1}= 5^n + \dfrac{q_n}{2}$ si $q_n$ est pair $\quad$ et $\quad q_{n+1}=\dfrac{5^n+q_n}{2}$ sinon.

Avec $q_1=3$ on trouve $4;27;76;663;1894;\cdots$

Avec $q_1=1$ on trouve la suite évoquée par Chaurien, plus de $6$, que des $1$ et des $2$

Voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,386094,386094#msg-386094

Amicalement.

Cidrolin · February 2018

Pendant que j'y suis, la suite A053314 https://oeis.org/A053314 présente deux erreurs dans sa description :" begins with a 2, if not then n-th term begins with a 7". Cela risque difficile de n'avoir que des 1 et des 4 .

PierreB · February 2018

@Chaurien :

Tu ne peux pas avoir l'unicité.
On prend ta suite $(x_n)$ où l'on n'autorise que les $1$ et les $2$. Tu construis $x_{n+1}$ à partir de $x_n$ en ajoutant $10^n$ si $x_n = 2^ny_n$ avec $y_n$ est impair, et en ajoutant $2 \times 10^n$ si $y_n$ est pair.
On a $x_1=2$ et il ne peut y avoir ensuite que des chiffres $1$ ajoutés (par exemple $1112$ n'est pas divisible par $16$). On choisit un rang $k> 1$ où l'on veut ajouter un chiffre $2$ (par exemple, pour $x_4$ d'après ci-dessus). Au lieu d'ajouter ce chiffre $2$, on ajoute $6$, ce qui revient à poser $a_k = x_k+4\times 10^{k-1}$. Le nombre $a_k$ est clairement lui aussi divisible par $2^k$, et on continue ensuite à n'ajouter que des $1$ et des $2$ selon le protocole ci-dessus pour $x_n$. Cela fournit une autre suite de nombres qui vérifient tous les conditions de l'énoncé de Cidrolin.

Pierre.

Chaurien · February 2018

Salut PierreB.
J'entendais l'unicité avec le dernier chiffre qui soit un $6$. Mais si je t'ai bien compris tu mets le $6$ ailleurs, c'est bien ça ?
Bonne journée ... et bonnes vacances.
Bien amicalement,
RC

PierreB · February 2018

Oui, n'importe où à la place d'un $2$, puis je suis le protocole de construction en n'ajoutant que des $1$ et des $2$.
Bonnes vacances aussi.

Pierre.

Cidrolin · February 2018

Merci PierreB,

Des multiples de puissances de deux avec peu de chiffres --->http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun328.htm

PierreB · February 2018

Je ne sais pas si ces suites de nombres correspondent à l'idée de base avec que des $1$ et des $2$, mais il me semble qu'en suivant le même raisonnement, on peut remplacer $1$ par n'importe quel chiffre impair, et $2$ par n'importe quel chiffre pair.

Pierre.

PierreB · February 2018

Bon, je me réponds à moi-même et effectivement les listes signalées par Cidrolin proviennent toutes de la construction chiffre par chiffre, selon la parité, comme indiquée ci-dessus.
En fait, si l'on ne se limite pas à deux ou trois chiffres autorisés, le protocole de construction chiffre par chiffre montre qu'à chaque chiffre il y a $5$ choix possibles (on accepte $0$). Cela donne donc $5^n$ nombres de $n$ chiffres (y compris avec des $0$ donc) qui sont des multiples de $2^n$ deux à deux distincts. Or, parmi les entiers entre $0$ et $10^n - 1$, il y a justement $\dfrac{10^n}{2^n}=5^n$ multiples de $2^n$. Ainsi, on les construits tous selon le protocole ci-dessus.
En particulier, si on impose de n'avoir qu'un seul $6$, de le mettre comme chiffre des unités, et de n'utiliser que des $1$ et des $2$ ensuite, cela fixe chaque choix pour chaque chiffre, et donne l'unicité voulue par Chaurien.
Cela dit, la position des chiffres pairs et des chiffres impairs dépend des choix effectués au fur et à mesure. Par exemple, si on choisit $6$ comme chiffre des unités, alors le chiffre des dizaines doit être impair. Mais, si on choisit $8$ comme chiffre des unités, le chiffre des dizaines doit être pair.

Pierre.

Cidrolin · February 2018

Dans une autre base on a:
$2^1\times 1=2$ qui s’écrit $2$ en base quatorze;
$2^2\times 4=16$ qui s’écrit $12$ en base quatorze;
$2^3\times 51=408$ qui s’écrit $212$ en base quatorze;
$2^4\times 197=3152=1212_{14}$;
$2^5\times 1299=41568=11212_{14}$.

Un seul 6

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