L'équation dans $\mathbb N^{*4}$

Bonjour.
$$
\begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 2uw\\2vw\\w^2-u^2-v^2\\w^2+u^2+v^2 \end{pmatrix}
$$

Je ne pense pas que Soland prétende avoir exhibé toutes les solutions. Il s'agit simplement d'une famille de solutions.
Par exemple la solution $(a,b,c,d)=(1,2,2,3)$ ne fait pas partie de cette famille.

Voici une autre famille de solutions : $\left(a,b,\frac{a^2+b^2-1}{2},\frac{a^2+b^2+1}{2}\right)$, où $a$ et $b$ sont de parités différentes.

Voici une tentative de résolution un peu plus générale:
$a^2+b^2+c^2=d^2\Longleftrightarrow a^2+b^2=(c+d)(d-c)$
$a$ et $b$ étant choisis arbitrairement on essayera donc de factoriser $a^2+b^2$ en un produit d'entiers $E\times F$ tels que :
$\begin{cases} -c&+&d = E\\c&+&d=F\end{cases}$
Ce système admet un couple d'entiers solution ssi $E$ et $F$ sont des entiers de même parité. Ça ne sera pas possible quand $ab\ impair$.
Pour tous les autres choix de $(a,b)$ entiers, il y aura des factorisations qui conviennent , au pire $E=1$ et $F=a^2+b^2$

Exemples: pour $a=10$ et $b=11$, il y aura deux solutions: $a^2+b^2=221$
$221=1\times 221$ d'où $c=\frac{221-1}2=110$ et $d=\frac{221+1}2=111 \longrightarrow (10,11,110,111)$
$221=13\times 17$ d'où $c=\frac{17-13}2=2$ et $d=\frac{17+13}2=15 \longrightarrow (10,11,2,15)$

pour $(a,b)=(2,6)$ on a $a^2+b^2=40$ d'où les deux solutions:
$40=2\times 20\ \longrightarrow (2,6,9,11)$
$40=4\times 10\ \longrightarrow (2,6,3,7)$

Etc.

Vu mon erreur.