Deux millésimes
dans Arithmétique
Une suite est définie par
$$
a_0=-1\;,\quad a_1=2/2019\;,\quad a_{n+1}=\frac{1-a_n}{a_{n-1}}
$$
Que valent $a_{2018}$, $a_{2019}$ et $a_{3^{2020}}$ ?
$$
a_0=-1\;,\quad a_1=2/2019\;,\quad a_{n+1}=\frac{1-a_n}{a_{n-1}}
$$
Que valent $a_{2018}$, $a_{2019}$ et $a_{3^{2020}}$ ?
Réponses
-
Bonjour,
Il s'agit d'une récurrence qui produit une suite étrangement 5-périodique , dont j'ai oublié le nom de l' "inventeur".
Amicalement; -
Mmh, déjà vu (mais toujours savoureux). Don Zagier en parlait en 2011 dans un film projeté à l'exposition de la fondation Cartier (présentation de l'exposition par le même Zagier). Il me semble que ce phénomène de périodicité avait été observé par Euler. Il a été récemment remis au goût du jour. Si on pose $a_n=-x_n$ dans l'exemple 1.2 de cet exposé pour transformer la récurrence en $x_{n+1}x_{n-1}=1+x_n$, on reconnaît une algèbre amassée de type $A_2$ et on a :
\[(a_0,\dots,a_6,\dots)=\left(a, b, -\frac{b - 1}{a}, \frac{a + b - 1}{a b}, -\frac{a - 1}{b}, a, b,\dots\right).\] -
Ce qui me botte c'est la période 5.
Math Coss, as-tu (d'autres) sources ? -
Pas vraiment, disons deux mots clés :
- frise (frieze) : un objet élémentaire lié à des mathématiques non élémentaires (algèbres amassées (cluster algebras), triangulations, groupes de Coxeter, représentations de carquois, espaces de modules, algèbres non associatives...) ; voici un rapport de stage et un article de Sophie Morier-Genoud, qui l'a encadré, sur le sujet ; ça devrait te plaire, c'est Coxeter qui les a inventées avec Conway...
- même genre, peut-être moins périodiques : suites de Somos (voir cette présentation de Jim Propp).
-
Merci infiniment. Je connais la frise de Coxeter.
-
Un petite amusette pour la route : prouver que la suite $u$ définie par $u_0=u_1=1$ et $u_{n+2}=\dfrac{1+u_{n+1}^{2018}}{u_n}$ a tous ses termes entiers.
Proposer une généralisation. -
Immédiat avec la théorie exposée par Bernhard Keller !
Nous sommes dans le cas de l'exemple 1.3, l'algèbre amassée de rang $2$ notée $\mathcal{A}_{(b,c)}$ avec $b=c=2018$. Par le théorème 2.1 (p. 6) , tous les $u_n$ sont des polynômes de Laurent à coefficients entiers en $u_0$ et $u_1$, qui valent $1$.
Généralisation ? Le théorème 2.1... -
Bonjour,
On peut prouver par récurrence que: $\forall n \in \mathbb N$
En notant $k =2018$, $\:\:\: \mathcal P_n: \left\{ \begin{array} {l} u_{n+1} \in \mathbb N^*.\\ u_{n+1}^k +1 \equiv 0 \mod u_n.\\ \end{array}\right.$
Cela est vrai pour $n = 0$ et $n=1$.
Pour $n\geq1$, l' hypothèse de récurrence entraine , avec $u_nu_{n+2}= 1+u _{n+1}^k$, que $ u_{n+2}\in \mathbb N^*$.
On déduit: $ 1 \equiv (u_nu_{n+2})^k \equiv (u_{n-1}u_{n+1}-1)u_{n+2}^k \equiv -u_{n+2}^k \mod u_{n+1} \implies u_{n+2}^k +1 \equiv 0 \mod u_{n+1}$.
Amicalement, -
Voici une généralisation (toujours la même source) : on se donne $k$ et $\ell$ (jusque là, $k=\ell=2018$) et on définit $u_{n+2}$ par
\[u_nu_{n+2}=\begin{cases}1+u_{n+1}^k&\text{si $n$ est pair ;}\\1+u_{n+1}^\ell&\text{si $n$ est impair.}\end{cases}\]Est-ce que l'argument de LOU16 s'applique encore ?
Au-delà (on sort du cadre des algèbres amassées), est-ce qu'on peut étendre en prenant $u_nu_{n+2}=1+u_{n+1}^{k_n}$ avec $(k_n)$ plus exotique ? (Je parierais que non.) -
@LOU16 : c'est à peu près la démonstration que j'avais en tête (ne faudrait-il pas prendre plutôt pour ta proposition $\mathcal{P}_n\;:\;(u_{n-1},u_n,u_{n+1},u_{n+2})\in\mathbb{Z}^4$ ?)
On peut généraliser avec $u$ définie par $u_0=u_1=1$ et $u_{n+2}=\dfrac{P(u_{n+1})}{u_n}$, où $P$ est un polynôme réciproque et unitaire, à coefficients dans $\mathbb{N}$. -
Il est d'ailleurs assez facile de généraliser à des suites récurrentes d'ordre supérieur.
Par exemple si $k\geqslant2$ est un entier, et $\alpha_1,\cdots,\alpha_{k-1}$ sont dans $\mathbb{N}^*$, la suite $u$ définie par :
$$\left\{\begin{array}{l}u_0=u_1=\cdots=u_{k-1}=1\\\forall n\in\mathbb{N}\:,\:u_{n+k}=\dfrac{u_{n+k-1}^{\alpha_{k-1}}\cdots u_{n+1}^{\alpha_1}+1}{u_n}\end{array}\right.$$
a tous ses termes entiers. -
Ha ! Ha ! On s'approche des algèbres amassées !
Quand on définit des suites dans ce genre, si on oublie les conditions initiales, on peut en principe exprimer $u_n$ comme une fraction rationnelle en $u_0,\dots,u_{k-1}$. Ce qui se passe, et qui est le premier phénomène non trivial observé par Fomin et Zelevinsky, c'est que ces fractions sont en fait des polynômes de Laurent, c'est-à-dire que les dénominateurs sont nécessairement des monôme en $(u_0,\dots,u_{k-1})$. Ils ont appelé cela le Laurent phenomenon. Cela entraîne l'intégralité de tous les termes si $u_0=\cdots=u_{k-1}=1$.
Sauf erreur, c'est le même phénomène qui est à l'œuvre avec les suites de Somos (réf. ci-dessus). -
Pas vraiment... Dans les références précédentes, il y a deux genres assez précis mais pas directement compatibles :
- dans les algèbres amassées, on a des relations associées à des récurrences du genre : $u_nu_{n+k} = $ somme de deux monômes à coefficients et exposants positifs en $u_{n+1},\dots,u_{n+k-1}$ ;
- les suites de Somos sont du genre $a_n a_{n+k} = a_{n+1} a_{n+k-1} + a_{n+2} a_{n+k-2} + \cdots$ (somme de plusieurs monômes, donc).
-
Je viens de tomber sur cet article en furetant un peu sur Internet, en suivant tes indications. Voir par exemple le théorème 3.1. page 9 et l'exemple 3.2. page 10 !
C'est vraiment étonnant ce truc ! -
Incidente : Sophie Morier-Genoud est-elle parente de l'acteur bien connu Philippe Morier-Genoud ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 24
+17 Invités