À propos de $(\mathbb Z/2n\mathbb Z)^\times$

babsgueye
babsgueye
dans Arithmétique
Salut

N'est-il pas vrai que $ (\mathbb{Z} /2n\mathbb{Z})^*$ contient plus de nombres premiers que de nombres composés, pour tout $n\gt 1$ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • depasse
    depasse
    Salut, je ne suis pas addict à la TSF et j'ai pu rater un scoop, mais je ne savais pas que
    $ (\mathbb{Z}
    /2n\mathbb{Z})^*$ était une partie des naturels

    Edit
  • Poirot
    Poirot
    Pour $n$ premier impair, tu es en train d'affirmer qu'il y a plus de nombres premiers dans $[3, 2n]$ (sans compter $n$) que de nombres impairs composés dans ce même intervalle. C'est faux pour $n$ suffisamment grand par le théorème des nombres premiers par exemple.
  • gerard0
    gerard0
    Babsgueye,

    peux-tu réécrire ta question sans utiliser des notations que tu ne comprends pas ($(\mathbb{Z} /2n\mathbb{Z})^*$ n'est pas un ensemble de nombres entiers). On saura alors si Poirot a bien imaginé ce que tu as en tête.

    Cordialement.
  • babsgueye
    babsgueye
    Ben
    J'attendais entendais par $(\mathbb{Z} /2n\mathbb{Z})^*$ les entiers de $1$ à $2n$ premiers avec $2n$.
    Merci.
  • gerard0
    gerard0
    Ah,

    alors rien à voir. Mais ça me semble faux pour n grand et premier. C'est ce que dit P, qui devait savoir ce que tu voulais dire.

    Cordialement.
  • babsgueye
    babsgueye
    n trop grand pour ne pas avoir un contre-exemple ? (je vais chercher)

    @depasse c'est quoi la TSF ? et dans la lancée que signifie $(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^*$ ?

    Merci.
  • depasse
    depasse
    Idem que gerard0. Considère, Babsgueye, mon intervention, incontestablement agressive, comme le produit de ma fatigue naturelle et de celle que me procurent bien de tes fils. En l'occurrence, je la regrette et aurais dû comprendre tout de suite, tel l'ami Poirot.
  • babsgueye
    babsgueye
    Bonjour
    Dans le forum il y a des gars qui aiment se moquer quand un inconnu dit une bêtise. Non ton intervention n'est pas agressive; juste que tu te moques et; ça rend le forum épicé, si c'est pas à tort et que ça ne tire pas en longueur !
    Mais tu n'as pas répondu à ma question (je ne parle pas de devinettes).


    Merci
  • babsgueye
    babsgueye
    @Poirot, justement, c'est le cas où $n$ n'est pas premier qui intéresse le plus.
    Penses-tu que là aussi on peut faire confiance au ''théorème des nombres premiers'' ?

    Merci.
  • gerard0
    gerard0
    Babsgueye,

    ici on fait des maths. Donc quand quelqu'un écrit une expression mathématique, on la lit pour ce qu'elle veut dire. ET quand quelqu'un affirma une propriété générale, comme toi (Pour tout $n>1$ au message 1), si cette propriété a un contre exemple, on lui dit qu'il dit faux. Éventuellement en lui donnant le contre exemple, comme l'a fait Poirot dans son premier message. Et on pense les gens capable de comprendre qu'un contre-exemple invalide l'affirmation.

    Ce n'est pas une attitude constructive que de faire des affirmations sans les avoir vérifiées. Comme il existe des logiciels gratuits permettant de faire des vérifications sur les nombre entiers pas trop grands, il serait bon que tu apprennes à le faire (puisque ça t'intéresse), et ensuite, si tes vérifications n'ont pas remis en question ton hypothèse, tu peux venir en parler. Tu seras pris au sérieux, comme l'est Rlabrie dans son fil.

    Quant à $(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^*$, il s'agit de l'ensemble des classes d'entiers modulo 2n, privé de la classe de 0. La classe de l'entier x est {...x-6n, x-4n, x-2n, x, x+2n, x+4n, x+6n, x+8n, ...}.

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    En général, la notation $(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^*$ (ou plutôt, je le reconnais, $(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^{\times}$) désigne l'ensemble des classes d'entiers inversibles modulo $2n$. C'est comme cela que j'ai interprété ta question initialement.

    EDIT : je viens de relire, j'ai donc bien interprété ta question. La suite répond à la question pour l'ensemble des entiers entre $1$ et $2n$.

    [small]La réponse est encore la même, pour la même raison, les nombres premiers se raréfient dans l'ensemble des entiers naturels (plus précisément $\pi(x)=o(x)$ quand $x \to +\infty$, où $\pi(x)$ désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à $x$). Ce dernier résultat remonte à Legendre, au début du XIXème siècle, et ne nécessite pas toute la force du théorème des nombres premiers. De toute façon, on doit pouvoir vérifier facilement que ton assertion est fausse dès que $n \geq 3$ (et même $n \geq 2$ si tu demandes une inégalité stricte). Par exemple, en utilisant une estimation à la Chebychev du style $\pi(x) \leq c_2 \frac{x}{\log x}$ pour $x \geq 2$, avec $c_2$ proche de $1$.[/small]
  • babsgueye
    babsgueye
    @gerard0, @Poirot n'a pas donné de contre-exemple. Il a dit que le théorème des nombres premiers permet de voir que mon assertion est fausse pour un $n$ assez grand (il n'a donné aucune valeur $n$).
    Poirot a écrit:
    De toute façon, on doit pouvoir vérifier facilement que ton assertion est fausse dès que $n\geq3$ (et même $n\geq2$ si tu demandes une inégalité stricte). Par exemple, en utilisant une estimation à la Chebychev du style $\pi(x) \leq c_2 \frac[x}{logx}$ pour $x \geq 2$, avec $c_2$ proche de 1.

    Non ! $(\mathbb{Z}/2\times 3\mathbb{Z})^* = \{1, 5\}$, il n'y même pas de nombre composé.
    Je sais que mon assertion est fausse par compréhension du théorème des nombres premiers (ceci n'est pas une démonstration (@Poirot n'a pas aussi donné de démonstration utilisant ce théorème))

    J'ai pensé qu'il fallait prendre des puissances de $2$ pour tomber sur le contre-exemple le plus petit et j'ai rencontré $128=2\times 64$ comme contre exemple (On peut le vérifier en donnant en extension ces ensembles de $n=2$ à $n=64$
  • Poirot
    Poirot
    La deuxième partie de mon message avait été écrite en pensant que ton assertion concernait l'intervalle $[1, 2n]$.
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut

    Les éléments de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ peuvent effectivement être pris simplement dans $[1; n]$ (c'est ce qui se définit d'habitude).

    Ça m'a surpris que les intervenants sur ce fil disent ne pas connaitre la notation $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$

    Je voudrais démontrer que si $q$ est une primorielle, l'ensemble $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*$ contient plus de nombres premiers que de nombres

    composés

    Merci.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... les intervenants connaissent la notation, mais pas ses utilisations détournées pour dire de façon compliquée ce qui peut s'écrire en bon français. Ne renvoie pas aux autres tes propres incompétences.

    On attend quand même un début de justification de ton affirmation, personne n'a de raison de te croire sur parole. Quant à une preuve .... On peut rêver !

    Cordialement.
  • babsgueye
    babsgueye
    gerard0 a écrit:
    ....mais pas ses utilisations détournées pour dire de façon compliquée ce qui peut s'écrire en bon français. Ne renvoie pas aux autres tes propres incompétences.

    Sors moi @gerard, ce qui est dit de façon détournée et en mauvais français.
  • gerard0
    gerard0
    Tu as écrit clairement ici ce qui était dans ta tête, et que Poirot a su brillamment retrouver. Je n'ai pas parlé de mauvais français, seulement de notation mathématique alambiquée.

    Bon, je te laisse à tes petits jeux ...
  • Poirot
    Poirot
    Si $q$ est la primorielle $p_1 \dots p_n$ (où les $p_i$ est le $i$-ième nombre premier), alors les éléments de $(\mathbb Z/q \mathbb Z)^{\times}$ (identifié à l'ensemble des premiers représentants) contient les entiers $\leq q$ qui n'ont que des facteurs premiers $> p_n$. Ce nombre est $q - \psi(q, p_n)$, où $\psi(x,y)$ désigne le nombre d'entiers $\leq x$ qui sont $y$-friables : https://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_friable

    Il existe des estimations de ces quantités, certaines sont disponibles sur la page wikipedia ci-dessus. À toi de te servir de ça pour compter ce qu'il faut, bon courage !
  • babsgueye
    babsgueye
    Merci beaucoup @Poirot. J'irai voir ça.
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut

    Je ne connais pas la notation $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ que je n'ai jamais rencontrée. Pourquoi vous avez changé ma notation avec $(^*)$ ?
    MERCI

    [J'ai changé le titre car il apparaît initialement sur la liste de sujets. Les intervenant la lisant, connaissent la différence entre les deux notations et seraient trompés par l'erreur de notation. AD]
  • Poirot
    Poirot
    Si $A$ est un anneau, $A^{\times}$ désigne le groupe des inversibles de cet anneau, c'est la notation que j'ai utilisée et qui est la plus fréquente pour désigner ce dont tu parlais. La notation $A^*$ est un peu ambigüe, et désigne parfois $A \setminus \{0\}$ (surtout dans le cas où $A$ est un corps), et désigne parfois $A^{\times}$.
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