Suite récurrente
dans Arithmétique
Bonjour
Ma question est simple. Soient a et b deux entiers naturels tels que a>b. On pose $U(0)=a$ et $V(0)=b$ .
ensuite $U(k+1)=U(k)^2-2V(k)$ et $V(k+1)=V(k)^2-2U(k)$.
À partir de quel $k$ peut-on être sûr que $V(k)$ négatif et $U(k)>-V(k)$.
PS: (déjà fait pour le cas $a>(b^2)/2$)
Merci de votre aide.
[Quelques dollars, ce n'est pas cher payé pour avoir un message lisible ;-) Poirot]
Ma question est simple. Soient a et b deux entiers naturels tels que a>b. On pose $U(0)=a$ et $V(0)=b$ .
ensuite $U(k+1)=U(k)^2-2V(k)$ et $V(k+1)=V(k)^2-2U(k)$.
À partir de quel $k$ peut-on être sûr que $V(k)$ négatif et $U(k)>-V(k)$.
PS: (déjà fait pour le cas $a>(b^2)/2$)
Merci de votre aide.
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Réponses
Je suis nul en latex. Je me sers de scientific workplace pour rédiger un article. Je dois m'y mettre au latex un jour c'est sûr 8-)
Pour tout $k$ :
$u_{k+1}-v_{k+1}=(u_k-v_k)(u_k+v_k+2)$.
J'avais cru conclure, mais je me suis fourvoyé...
Tu peux utiliser scientific workplace pour faire des messages sur le forum, avec copier-coller.
Je parviens à écrire $u_{k+2}$ en fonction de $u_{k+1}$ et $u_k$, ainsi, on ne s'occupe plus de $v$.
Mais c'est moche...et ce n'est peut-être pas judicieux (ni possible ?) de vouloir expliciter $u$ et $v$.
La propriété demandée est-elle héréditaire d'ailleurs ?
(i.e. : Si c'est vrai pour un certain $k$ alors est-ce vrai pour les suivants ?)
Dans quelle mesure ces deux suites dépendent-elles du caractère entier des conditions initiales $a,b$ ?
En d'autres termes, ce problème a l'air d'une question de systèmes dynamiques. Pourquoi l'avoir mis dans la section "arithmétique" ?
Enfin une remarque : tu nous dis avoir la réponse quand $a > \frac{b^2}{2}$, mais sans dire un seul mot dessus, ni le résultat obtenu, ni la démarche employée...
Peut-être ton appel à contributions aurait plus de succès si tu commençais par donner l'exemple, en nous donnant des indices, ou au moins du contexte.
$ V(1) $ est bien entendu négative et $ U(1) + V(1) = (a-1)^2+(b-1)^2 -2 $
Où sont les suites dans tout cela ?
J'ai envie de dire "c'est tout ?" mais sans être agressif, disons avec surprise.
Peux-tu nous dire d'où provient cet énoncé ?
Quand on a un entier algébrique $ x $ de degré 3 dont le polynôme minimal est $ X^3-aX^2+bX-1 $ , j'ai lu dans un article (sans démonstration) qu'il y avait un certain $ k $ tel que le polynôme minimal de $ x^k $ : $ X^3-a_kX^2+b_kX-1 $ vérifie $ b_k<0 $ et $ a_k>-b_k $
Donc je cherche tout simplement à déterminer explicitement un $ k $ qui vérifie les conditions demandées ( le $ k $ n'est pas unique évidemment )
Les suite $ U_k $ et $ V_k $ sont tout simplement les coefficients du polynôme minimal de x^(2^k) ( en remplaçant $ k $ par $ 2^k $ dans le polynôme précédent )
En fait, ce ne sont pas vraiment ces suites qui t'intéressent, mais plutôt la remarque sur le polynôme minimal de $x^k$ pour $x$ ce type d'entier algébrique.
Ton exposition de la question me semble fautive et tomber dans le cadre du XY problem.
Ce qui t'intéresse, c'est le problème $X$, mais ta question porte sur la solution $Y$ que tu as essayée.
Il vaudrait mieux parler directement du problème $X$, et de demander si on peut faire en utilisant la solution $Y$.
Tu te dis, "tiens je vais chercher un tel $k$ sous la forme $k=2^n$."
Mais qu'est ce qui te dit que l'ensemble des $k$ qui sont solution rencontre l'ensemble des puissances de 2 ?
Si ça se trouve, le problème que tu as posé avec les deux suites n'a pas forcément de solution du tout, non ?
Je m'explique.
Je ne cherche pas la démonstration de l'existence du $ k $ mentionné dans l'article (que tu penses être le problème $ X $), mais bel est bien à le déterminer explicitement pour avancer dans mes recherches.
Pour ton second message oui, j'avais oublié de le mentionner, $ k=2^l $ ne donnera pas forcement la réponse mais on peut essayer ;-)
-- Vu la modif du message d'au dessus.
Le modèle choisi semble manquer de pertinence, de ma petite taille...:-S
Il n'est pas du tout clair pour moi que les suites proposées vérifient bien la condition demandée, encore moins que le rang $k$ demandé dispose d'une minoration descriptible d'une façon lisible.
Il me semble douteux que l'approche choisie pour démontrer ce résultat sur les entiers algébriques soit pertinente, y compris si on souhaite obtenir une explicitation du rang $k$ où les coefficients du polynôme annulateur vérifient les propriétés souhaitées.
La meilleure idée que je pourrais proposer pour le problème d'origine, ce serait d'écrire les relations coefficients-racines pour le pol. min. de $x^k$, et essayer de voir, en utilisant la racine de module maximal. (mais je n'y connais rien en théorie des nombres, donc...)
Je pense vraisemblable, en tous cas, que le résultat recherché sur les entiers cubiques est sensiblement plus facile que l'étude demandée de ce couple de suites.
En tout et pour tout, la question posée me semble assez mauvaise, et donc assez peu digne d'intérêt !
je souhaiterais savoir si la condition nécessaire liée au théorème de Beatty peut s'étendre à trois suites de Beatty S(a), S(b) et S(y).
C'est la première fois que je vois un truc comme ça.
Je vous préviens je suis très souvent à coté de la plaque.
Si je comprends bien.
$a=U(0)=U(-1)^2-2V(-1)=\sqrt{U(1)+2V(0)}=\frac {V(0)^2-V(1)}{2}$
$b=V(0)=V(-1)^2-2U(-1)=\sqrt{V(1)+2U(0)}=\frac {U(0)^2-U(1)}{2}$
$a=\sqrt{U(1)+2b} \Rightarrow U(1)=a^2-2b$
$b=\sqrt{V(1)+2a} \Rightarrow V(1)=b^2-2a$
$a=\frac {b^2-V(1)}{2} \Rightarrow V(1)=b^2-\frac {a}{2}$
$b=\frac {a^2-U(1)}{2} \Rightarrow U(1)=a^2-\frac {b}{2}$
Cela voudrait dire que pour $V(1)$ et $U(1)$
$b^2-2a=b^2-\frac {a}{2}$ et $a^2-2b=a^2-\frac {b}{2}$
$4a=a$ et $4b=b$
Comme d’habitude j'ai dû me tromper quelque part.
$4b=b$ est il possible si $b=0$?
ça pardon.
Du coups si a=0 et b=0 , a n'est pas supérieure à b n'est pas solution.
$V(1)=U(1)=a=b=0$
$V(0)$ a deux solutions a=0 et b=2 ou a=2 et b=0
$U(0)$ a deux solutions b=0 et b=2 ou a=2 et b=0
Du coups $V(0)$ et $U(0)$ n'a qu'une solution en prenant en compte la contrainte $a > b$.
a=2 et b=0
$V(-1)$ a deux solutions b=0 ou 2
$U(-1)$ a deux solutions $a=\frac{2-\sqrt{12}}{2} ou \frac{2+\sqrt{12}}{2}$
Comme $a > b$ , $U(-1)$ a une solution $a=\frac{2+\sqrt{12}}{2}$
Du coups je me demande si 0 est négatif.
Si 0 est considérer comme négatif k=-1 pourrait être une solution.
$V(-1)=0$ négatif et $U(-1)=\frac{2+\sqrt{12}}{2}>-V(-1)=0$
Comme a et b sont deux entiers naturel $k= -1$ ne peut pas être solution.
PS 1: ne serait il pas plus claire d’écrire $(U_{(k)})^2$?
PS 2: Pourquoi s’être compliquer la vie a remplacer $U_{(k)}$ par a et $V_{(k)}$ par b?
Haaa mince je l'avais pas vu.
$V(0)=0$ négatif et $U(0)=2>-V(0)=0$
On pourrait se poser la question, y a il d'autres entier tel que $U_{(k)}> -V_{(k)} et V_{(k)}\leq 0$
a condition d’étendre b soit $V_{(k)}$ aux entier relatif.
Mais bon $V_{(k)}$ a l'aire d’être $V_{(k)}=0$ se qui doit être faux puisque khattab nous a promis que $V_{(k)}$ est une suite par récurrence.
Une suite par récurrence peut elle avoir trois fois d'affilé le même nombre? je ne pense pas mais bon. ha si c'est possible.