Nombre de matrices sur corps finis

Vaged1963 · March 2018

Salut à tous,

Je cherche à répondre à la question suivante :
Pour un nombre premier p, combien y a-t-il de matrices 3x3 de déterminant 1 sur le corps Z/pZ dont le premier coefficient sur la diagonale est divisible par p ?

Dans le cas 2x2, je sais montrer que c'est p(p-1), mais je bloque sur le cas 3x3... un coup de pouce ?

Merci d'avance,
-Ed

marsup · March 2018

Donc avec un zéro dans le coin supérieur gauche ?

Vaged1963 · March 2018

Oui, exactement.
-Ed

marsup · March 2018

Je propose les questions suivantes :

Combien de vecteurs non-nuls dans $F_p^3$ ont une abscisse nulle ?
Pour chacun d'eux, combien de vecteurs en sont linéairement indépendants ?
Pour chaque couple obtenu précédemment, combien de vecteurs ne leurs sont pas coplanaires ?

On multiplie les trois ensemble.
Ça donne un certain nombre de matrices inversibles.
La proportion d'entre elles dont le déterminant est $1$ est sans doute $\frac{1}{p-1}$.

GaBuZoMeu · March 2018

On peut choisir le dernier vecteur avec la contrainte supplémentaire que le déterminant (qui est linéaire en la dernière colonne) soit 1

Vaged1963 · March 2018

Merci beaucoup !
J'ai suivi vos étapes et il me semble que la réponse est donc (p+1)(p^3-p)(p^3-p^2), c'est bien ça ?

Si oui, merci encore.
-Ed

marsup · March 2018

Oui je trouve pareil que toi.

Parmi les matrices $3\times 3$ de déterminant 1, quelle est la proportion de celles qui ont un 0 en haut à gauche ?

Vaged1963 · March 2018

Pardon, mon dernier message s'adressait à marsup; je tape lentement...
Merci aussi à vous GaBuZoMeu pour votre remarque.
-Ed

Nombre de matrices sur corps finis

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