Encore des carrés parfaits

Plus généralement, si $a\equiv2\;[6]$ et $b\equiv3\:[12]$, alors l'équation diophantienne $(a^n-1)(b^m-1)=x^2$ n'admet aucune solution $(n,m,x)\in(\mathbb{N}^*)^3$. Voir cet article (la méthode utilisée est élémentaire mais il faut connaître la structure de l'ensemble des solutions de l'équation de Pell-Fermat $X^2-dY^2=1$).