Divertissement

Bonjour,
Voici ma solution au problème posé au message initial. J'aimerais savoir si vous la trouvez correcte et si elle est rédigée convenablement. D'avance, merci.

La théorie nous dit que si $n=4$ ou $n=p^k$ ou $n=2p^k$ (pour $p=$ un nombre premier impair et $k=$ un entier naturel), alors l'ensemble des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un groupe cyclique, c'est-à-dire un groupe dont un des éléments $\alpha$, appelé générateur, voit ses puissances successives $(\alpha^1, \alpha^2, \alpha^3...)$, prises modulo $n$, générer tous les éléments du groupe.

Dans le problème posé, puisque $16807=7^5$, l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/16807\mathbb{Z}$, est bien un groupe cyclique. J'ai calculé que la classe de $5$ en est un générateur, comme dit dans l'énoncé.

Ce groupe étant d'ordre $\phi(7^5)=14406$, j'en conclus que les calculs effectués sur les exposants du générateur $5$ peuvent se faire modulo $14406$.

Maintenant, puisqu'aux termes du problème le plus petit représentant positif de la classe de $5^{10264-2m}$ est l'inverse de $p$, avec :
- soit $p=$ le plus petit représentant positif de la classe de $5^{8237-m}$ (cas 1)
- soit $p=$ le plus petit représentant positif de la classe de $5^{12437-m}$ (cas 2)
il me faut envisager les cas 1 et 2 :

$\underline{cas 1}$ :
De ce qui vient d'être écrit, on tire :
$5^{8237-m}\times 5^{10264-2m}\equiv 1 \equiv 5^{14406}\equiv 5^0\pmod{16807}$.

Me focalisant sur les exposants de $5$, j'obtiens :
$8237-m+10264-2m\equiv 14406\equiv 0\pmod{14406}$, c'est-à-dire :
$4095\equiv 3m\pmod{14406}$, donnant pour solutions :
$m\equiv 1365$ ou $m\equiv 6167$ ou $m\equiv 10969\pmod{14406}$.

Seulement, si l'on veille bien à avoir $p<q$, aucune des trois solutions trouvées ne peut convenir.
Par exemple, si $m\equiv 1365\pmod{14406}$, alors on obtient à l'aide d'un logiciel de mathématiques :
$p=5^{8237-1365}\equiv 5^{6872}\equiv 13192\pmod{16807}$
$q=5^{12437-1365}\equiv 5^{11072}\equiv 12114\pmod{16807}$
ce qui ne se peut pas puisque cela contrevient à la condition $p<q$. On aboutit à une pareille contradiction avec $m\equiv 6167$ ou $m\equiv 10969\pmod{14406}$, qui donnent respectivement :
$(p=16549,q=3417)$ et $(p=3873,q=1276)$.

$\underline{cas 2}$ :
De ce qui a été écrit plus haut, on tire maintenant :
$5^{12437-m}\times 5^{10264-2m}\equiv 1 \equiv 5^{14406}\equiv 5^0\pmod{16807}$.

Me focalisant encore une fois sur les exposants de $5$, j'obtiens :
$12437-m+10264-2m\equiv 14406\equiv 0\pmod{14406}$, c'est-à-dire :
$8295\equiv 3m\pmod{14406}$, donnant cette fois pour solutions :
$m\equiv 2765$ ou $m\equiv 7567$ ou $m\equiv 12369\pmod{14406}$.

A nouveau, si l'on veille bien à avoir $p<q$, les solutions $m\equiv 2765$ ou $m\equiv 7567\pmod{14406}$ ne peuvent pas convenir.
Par exemple, si $m\equiv 2765\pmod{14406}$, alors :
$p=5^{12437-2765}\equiv 5^{9672}\equiv 14197\pmod{16807}$
$q=5^{8237-2765}\equiv 5^{5472}\equiv 8121\pmod{16807}$
ce qui ne se peut toujours pas puisque cela contrevient encore une fois à la condition $p<q$, tout comme dans le cas où $m\equiv 7567\pmod{14406}$ donnant $(p=14947,q=12742)$.

Reste à prendre en considération la dernière valeur trouvée : $m\equiv 12369\pmod{14406}$, qui donne :
$p=5^{12437-12369}\equiv 5^{68}\equiv 4470\pmod{16807}$
$q=5^{8237-12369}\equiv 5^{10274}\equiv 12751\pmod{16807}$
où la condition $p<q$ est enfin respectée.

La réponse à la question posée dans l'énigme est donc la suivante :
Dans $\mathbb{Z}/16807\mathbb{Z}$, l'inverse de $q$ (autrement dit l'inverse de $5^{10274}$) est $5^{4132}$, dont le plus petit représentant positif est ... $2018$.

Merci à ceux qui auront eu le courage de lire ce message jusqu'au bout.

Plus de « 1000 vues » et toujours pas la moindre réponse à ma dernière question...Ça devient fou.

Bonjour, Fin de partie,
Au début de mon long message, ma question semblait pourtant claire : « La solution que je propose au problème posé est-elle correcte (j’entends notamment par là « unique ») et correctement rédigée (c’est-à-dire dans un langage mathématique sans faute) ?
Après plus de trois mois, cette question reste toujours sans réponse.
Je fais juste appel à vos compétences mathématiques.