Nombre harmonique

Je me suis mal exprimé, je voulais dire égal.
Pour information.
Unsigned Stirling numbers of first kind
https://oeis.org/search?q=1,+3,+11,+50,+274,+1764,+13068&sort=&language=&go=Search
Plus d'informations.
https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind
Bon encore une foi il y a beaucoup d'outils mathématique qui me sont inconnus.
Ça ne va pas être facile.

Petite remarque sur la factorielle.
$\displaystyle \forall n \in \N,\ \forall m \in \N^*,\quad (n+m)!=n!\prod_{k=1}^{m}(n+k)=n! \sum_{j=0}^{m}
\left[{m\atop j}\right](n+1)^{j}.$
$\displaystyle \forall n \in \N^*,\ \forall m \in \N^*,\quad (n-1+m)!=(n-1)!\prod_{k=0}^{m-1}(n+k)=(n-1)! \sum_{j=0}^{m} \left[{m\atop j}\right]n^{j}.$
$\displaystyle \forall n \ge 1-k \in \Z,\forall m \in \N^*,\quad (n+k-1+m)!=(n+k-1)!\prod_{k}^{m+k-1}(n+k)=(n+k-1)! \sum_{j=0}^{m} \left[{m\atop j}\right](n+k)^{j}.$
Cas particulier Pour n=1 ; k=0.
$\displaystyle \ \forall m \in \N^*,\quad m!=\prod_{k=0}^{m-1}(1+k)=\sum_{j=0}^{m} \left[{m\atop j}\right].$
1=1
1+1=2
1+3+2=6
1+6+11+6=24
1+10+35+50+24=120
1+15+85+225+274+120=720
La deuxième colonne Triangular numbers
La troisième colonne Stirling numbers of the first kind: s(n+2, n).
etc...
étrangement je retrouve la suite $s_n$ que je cherchais en diagonale.
Visiblement n=1 ; k=0 correspond exactement a la Table of values for small n and k https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind#Table_of_values_for_small_n_and_k
doc : nombre de Stirling https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Stirling#Fonction_génératrice
doc : coefficient binomial https://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_binomial
Bon il me semble que c'est un genre de binôme de Newton version factoriel.

l'idée est de transformer un produit en somme arithmétique.
Bon l'idée est la mais je n'arrive pas a l'écrire proprement la série pour la factoriel.
$$f(x)=x!=1+\sum_{k=0}^{\infty} \left[{x+k+1\atop x}\right]=1+\sum_{k=0}^{\infty} x\left[{x+k\atop x}\right]+\left[{x+k\atop x-1}\right]={x \choose 0},+{x \choose 2},+2{x+1 \choose 4}+{x \choose 4},+{x \choose 2}{x \choose 4},+...=$$
$1,+\frac{x(x-1)}{2},+\frac{2(x+1)x(x-1)(x-2)}{24}+\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24},+\frac{x(x-1)}{2}\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24},+...$
Si je trouvais une suite logique sa m'aiderais beaucoup par la suite pour trouver $s_n$
Bon je ne trouve pas, pour passer le temps une curiosité.
$g(x)=-cos(x\pi)+\frac{cos(x\pi)(x^2-x)}{2}-\frac{cos(x\pi)(x^2-x)(3*x^2-4x+2)}{24}+\frac{cos(x\pi)x^2(x-1)^2(x-2)(x-3)}{48}-...$
$g(x)=(...;-\infty;+\infty;0;-1;+1;0;0;0;0;0;0;...)$
$$n!\sum_{k=1}^n\frac1k = \left[{n+1\atop 2}\right]$$