Mantisse
dans Arithmétique
Deux réels strictement positifs ont la même mantisse ssi leur quotient est une puissance de dix.
A toute mantisse on peut associer une suite de chiffres dont le premier n'est pas zéro.
Problème bien connu :
Trouver une puissance de 2 dont la mantisse commence par 123 (càd. $(1, 2, 3, \cdots)$
Problème peu connu :
Trouver une factorielle dont la mantisse commence par 123 .
En cas de succès remplacer 123 par 123456789.
Je n'ai pas la réponse.
A toute mantisse on peut associer une suite de chiffres dont le premier n'est pas zéro.
Problème bien connu :
Trouver une puissance de 2 dont la mantisse commence par 123 (càd. $(1, 2, 3, \cdots)$
Problème peu connu :
Trouver une factorielle dont la mantisse commence par 123 .
En cas de succès remplacer 123 par 123456789.
Je n'ai pas la réponse.
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Réponses
350! commence par 123.
J'ai les mêmes valeurs.
En général, Je pense qu'on peut prendre le logarithme décimal dans
$$
123\times10^k<n!<124\times10^k
$$
en pensant à la formule de Stirling.
Étant donnée une séquence de chiffres arbitraire, il existe toujours une puissance de $2$ donc l'écriture décimale commence (à gauche) par cette séquence. On peut le prouver en utilisant la densité de $\mathbb{Z}+(\log_{10}2)\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$. Il me semble que cela a déjà été évoqué sur ce forum ?
Il en est de même pour les factorielles. La preuve repose sur le fait que $\Delta u\rightarrow+\infty$ et $\Delta^2 u\rightarrow0$, en notant $u_n=\log_{10}(n!)$ et $(\Delta v)_n=v_{n+1}-v_n$.
Puissances de 2: A018802
Factorielles: A018799
Les graphiques sont amusants.
- $350!$ commence par $123$ ;
- $2\,709!$ commence par $1234$ ;
- $20\,279!$ commence par $12345$ ;
- $81\,200!$ commence par $123456$ ;
- $3\,186\,194!$ commence par $1234567$ (je crois) ;
- $14\,678\,168!$ commence par $12345678$ (peut-être).
Soland se souvient certainement de ce fil sur les puissances de $6$ (ou $2$, etc.). Les calculs sont beaucoup plus longs ici quand on veut les faire bêtement et la question effective me semble notablement plus difficile.Edit : en fait, on gagne énormément de temps en remplaçant la factorielle par la fonction gamma en flottant (je n'ose pas mettre un point d'exclamation).