Une jolie approximation de $\gamma$

Bonsoir Sylvain,

Merci, quelle est la précision de cette approximation ?

Excusez-moi, je suis hors sujet.
Il me semble que Sylvain parle de la Constante d'Euler-Mascheroni.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_d'Euler-Mascheroni#Définition
De façon condensée, on obtient :
$\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln(n)\right)$
ça me donne l'impression que $-\ln(n)$ se trouve à l’intérieur de la somme arithmétique.
Ne faudrait-il pas écrire plutôt.
$\gamma=\lim_{n\to\infty}\left((\sum_{k=1}^n\frac1k)-\ln(n)\right)$
Ou (bien).
$\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(-\ln(n)+\sum_{k=1}^n\frac1k\right)$
C'est un petit détail ou bien quelque chose m’échappe.
Cordialement.

Bonjoru,

Dans l''écriture :
\[\sum_{k=1}^n \frac 1k - \ln(n)\]
il est d'usage de lire le logarithme hors de la somme ; les parenthèses sont utilisées pour inclure le logarithme dans la somme:
\[\sum_{k=1}^n \left(\frac 1k - \ln(n)\right) = \sum_{k=1}^n \frac 1k - n\ln(n).\]

De plus, si le symbole \(\sum\) portait sur la fraction et sur le logarithme, il n'y aurait pas besoin de parenthèses pour préciser sur quoi porte la limite.
On distingue ainsiles deux écritures :
\[\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n \frac 1k - \ln(n)\right)\qquad vs. \qquad \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\frac 1k - \ln(n)\right)\]
avec le logarithme en dehors de la somme dans la première, d'où les parenthèses pour préciser qu'il est dans l'expression dont on prend la limite, alors que dans la seconde, la limite porte sur la somme à laquelle est incorporé le logarithme.

Je comprend, d'ordinaire j'écrit comme sa se qui n'est pas juste.
$\sum_{k=1}^{n} k + 1=\frac{n(n+1)}{2}+n$
Je devrais préciser avec les parenthèses se qui se trouve a l’intérieur de la somme arithmétique.
$\sum_{k=1}^{n} (k + 1)=\frac{n(n+1)}{2}+n$
Merci.