Fonction qui conserve les nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour
Soit $f:{\mathbb N}^*\longrightarrow {\mathbb N}^*$ une fonction telle que, pour tout $n\in {\mathbb N}^*$ : $$
f\big(f(n)\big)\,=\, \hbox{nombre de diviseurs positifs de $n$.}
$$ Par exemple, $f\big(f(6)\big)=4$ car les seuls diviseurs positifs de $6$ sont $1,2,3$ et $6$.
La question est de montrer que si $p$ est un nombre premier alors $f(p)$ est aussi un nombre premier.
Cordialement,
Yan2
Soit $f:{\mathbb N}^*\longrightarrow {\mathbb N}^*$ une fonction telle que, pour tout $n\in {\mathbb N}^*$ : $$
f\big(f(n)\big)\,=\, \hbox{nombre de diviseurs positifs de $n$.}
$$ Par exemple, $f\big(f(6)\big)=4$ car les seuls diviseurs positifs de $6$ sont $1,2,3$ et $6$.
La question est de montrer que si $p$ est un nombre premier alors $f(p)$ est aussi un nombre premier.
Cordialement,
Yan2
Réponses
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Bonjour
Ai-je bien compris? C'est immédiat si on utilise le fait qu'un nombre est premier si et seulement s'il a exactement deux diviseurs positifs! -
Pas complètement immédiat. Il y a deux bonnes lignes...
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Dites-moi si j'ai bien compris :
On a : $p$ premier $\Longleftrightarrow f(f(p)) = 2$.
Donc, si $p$ premier, alors $f(f(p)) = 2$, donc $f(f(f(p))) = f(2)$.
Notons $n = f(2)$, et vérifions que $n = 2$.
Alors, on a $f(f(n)) = f(f(f(2))) = f(2) = n$.
Donc $n$ a $n$ diviseurs : seule solution $n=2$.
Donc $f(f(f(p)))=2$, et $f(p)$ est bien un nombre premier ? -
Ben ça fait deux lignes, non ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je la refais dans un style plus flamboyant.
Soit $g = f \circ f$.
Alors $2$ est le seul point fixe de $g$, donc $2$ est un point fixe de $f$, car $f(2)$ est un point fixe de $g$.
Soit $P$ l'ensemble des premiers.
Alors $P = g^{-1}(\{2\})$, donc $f(P) \subset g^{-1}(\{f(2)\}) = P$, car $f$ et $g$ commutent.
L'ensemble $P$ est donc stable par $f$.
Sauf que je pense qu'il y a un problème
En effet, $g$ a deux points fixes : $n=1$ et $n=2$.
On pourrait donc très bien avoir $g(f(p)) = 1$, c'est-à-dire $f(p) = 1$, pour un nombre premier $p$, non ?! :-S -
Soit $f$ une fonction telle que $g:=f \circ f =$ nombre de facteurs.
Supposons que pour $p$ premier, on ait : $f(p)$ premier.
Alors $f(2) = f(g(3))= g(f(3)) = 2$, car $f(3)$ premier.
On a donc $f(1) = 1$ (l'autre point fixe de $g$).
Soit $\tilde f$ la fonction :
$\tilde f(p) = 1$ si $p$ premier
$\tilde f(1) = 2$
$\tilde f(x) = f(x)$ sinon.
N'a-t-on pas : $\tilde f \circ \tilde f =$ nombre de facteurs, sans que $\tilde f(p)$ soit un nombre premier, fournissant un contre-exemple à la question posée (en tous cas s'il existe une telle fonction $f$ ?) -
Salut.
L'image de $p$ par $f$ c'est à dire $f(p)$ est forcément un nombre qui a autant de diviseurs que $p$. Et les seuls nombres qui ont exactement deux diviseurs sont les nombres premiers. Alors si $p$ premier, $f(p)$ est premier. cqfd -
Salut babsgueye.
Tu peux m'expliquer ton argument ?
Tu dis que $f^3 = f^2$ ? -
Je ne dis pas ça exactement, Je dis que si $f(p)$ n'a pas autant de diviseurs que $p$, $f(f(p))$ ne peut avoir autant de diviseurs que $p$.
-
Quel est l'argument qui étaye cette affirmation ?
-
Alors, peut-être que je lis mal, mais ce que tu disais il y a deux messages ressemblait beaucoup à $f^3 = f^2$.
(peut-être que c'est vrai, je n'en sais rien : je ne suis même pas vraiment certain qu'il existe une telle fonction $f$ ?)
Du coup tu dis :
Si : $f^3(p) \neq f^2(p)$,
alors : $f^4(p) \neq f^2(p)$
C'est ça ? Tu peux m'expliquer ça, alors ?
Et je n'arrive pas non plus à voir comment déduire le résultat de la question posée à partir de cette propriété.
Ah si c'est bon ! Je suis d'accord que ça implique ce qu'on veut. -
En tout cas dans l'ensemble des nombres premiers soit $f(p) = q$ On a $f(f(p)) = f(q) = 2$ et donc $f(f(f(p))) = f(f(q)) = f(2) = 2$ Mais $f(f(q)) = 2$ implique que $q$ est premier (seuls les nombres premiers ont deux diviseurs.
Si p n'est pas premier ma première assertion et fausse -
Ok, alors.
Mais tu es sûr que $f(2)=2$ ?
Tout ce qu'on sait c'est que $f(f(2)) = 2$.
Mais, le problème, c'est qu'on a aussi $f(f(1)) = 1$.
Du coup, on pourrait aussi bien avoir $f(2)=1$ et $f(1)=2$... -
Ah ok t'as raison. Je vais relire alors.
-
Je pense que c'est un problème d'énoncé, en fait.
Il me semble que présenté comme c'est, ce n'est pas forcément vrai (voire forcément pas vrai...)
Par contre pour $f : \N \backslash \{0,1\} \to \N \backslash \{0,1\}$,
la conclusion s'ensuit correctement. (il suffit d'enlever $1$ de l'ensemble, donc.) -
Supposons $f(2) = 1$ et $f(1) = 2$.
Si $p$ premier tel que $f(p)$ pas premier
Alors $f(f(p)) = f(\text{pas premier}) = 2$
Mais alors $f(f(f(p))) = f(f(\text{pas premier})) = f(2) = 1$ impossible sauf si ''pas premier = 1''
donc la fonction $f(2) = 1 , f(1) = 2\, \text{et}\, f(p) = 1\,\text{ pour tout p premier}$ n'est-il pas un contre-exemple ? -
Bon j'ai pas tout compris, mais en effet, si $f(2)=1$, l'affirmation est mise en défaut, puisque 2 est premier, et 1 ne l'est pas...
-
Je veux dire que l'hypothèse $f(f(n)) = \text{nombre de diviseurs de n}$; ne suffit pas pour dire que $f(p)$ est premier si $p$ premier.
Il faudrait ajouter la condition $f(2) = 2$
En fait la fonction $f$ que j'ai donné ( f(1) = 2 et f(p) = 1 pour tout p premier) comme contre-exemple ne contredit en rien l'hypothèse de @yan2.et
pourtant $f(p) = 1$ pour tout $p$ premier, alors que $1$ n'est pas premier.
Merci. -
Je suppose \(f(2)=1\), et je note \(n=f(3)\) et \(m=f(4)\).
On calcule successivement :
\begin{align}
f(n) &= f(f(3) = 2 & f(m) &= f(f(4)) = 3 \\
f(f(n))&= f(2) = 1 \implies n=1 & f(f(m)) &= f(3) = n = 1 \implies m=1 \\
f(1) &= f(n) = 2 & f(1) &= f(m) = 3
\end{align}
ce qui fait deux valeurs pour \(f(1)\) !! -
Bien vu ! donc $f(2) \neq 1$
et si $f(2) = n$ alors $f(f(2)) = f(n) = 2$ et donc $f(f(f(2))) = f(f(n)) = f(2) = n$ et $n\neq 1$ donc $n = 2$.
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