question sur $\Z/n\Z$ vs $\Z_n$

Sief
Sief
dans Arithmétique
Bonjour,

J’ai une question, et je vous remercie d’avance pour les réponses.

Est-ce qu’écrire ${{\mathbb{Z}}_{n}}$ est la même chose que d’écrire ${\mathbb{Z}}/{n\mathbb{Z}}\;$ ?

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Pas toujours, cela dépend des sources.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Sief
    Sief
    Peux-tu m'expliquer la différence entre les deux notations ?
  • Sief
    Sief
    je pense que :

    ${\mathbb{Z}}/{n\mathbb{Z}}\;=\left\{ \overline{0},\overline{1},\ldots ,\overline{n-1} \right\}$ : qui est l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation de congruence modulo $n$.

    ${{\mathbb{Z}}_{n}}\left\{ 1,2,\ldots ,n-1\} \right.$ : les entiers modulo $n$.

    Quelqu'un peut me confirmer ceci ?
  • Poirot
    Poirot
    Ta notation pour $\{1, \dots, n-1\}$ n'est absolument pas standard. Utilise la notation que tu veux, mais sois sûr que c'est clair à partir du moment où tu partages ce que tu écris !
  • Dom
    Dom
    Une confusion avec $\mathbb F_n$* ?

    Qui désigne davantage l'espace vectoriel que le groupe ou l'anneau.

    [small]*Bon, il est vrai que le nom devrait changer, mais tout de même...:)o [/small]
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Je connais plutôt $\N_n=\{1,2,3,…,n\}$.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Math Coss
    Math Coss
    La notation $\Z_n$ renvoie plutôt aux entiers $n$-adiques, ce qui est plus fréquemment utilisé lorsque $n$ est premier mais a un sens pour $n$ quelconque (voir ici par exemple).
  • Sief
    Sief
    Si l’on dit l’anneau $\left( {{\mathbb{Z}}_{n}},+,. \right)$ cela veut dire quoi ?
  • marsup
    marsup
    Officiellement, c'est l'anneau des entiers $n$-adiques, effectivement.

    C'est donc l'ensemble des "entiers" qui, "en base $n$, ont un chiffre pour chaque puissance de $n$" (sans hypothèse de finitude).

    Après, je dois confesser, que moi-même, je note $\Z_n$ pour $\Z/n\Z$, dans les (rares) cas où je fais de l'arithmétique modulaire.
  • Sief
    Sief
    Mais, pourquoi dans mon cours est noté que ${{\mathbb{Z}}_{n}}$ c’est les nombres entiers modulo $n$
  • marsup
    marsup
    Ce n'est qu'une notation (bien pratique, d'ailleurs !), il n'y a pas mort d'homme !
  • Sief
    Sief
    Exemple :

    ${{\mathbb{Z}}_{5}}$ c’est $\left\{ 0,1,2,3,4 \right\}$ modulo $5$
  • Cyrano
    Cyrano
    Cela dépend des pays.
    En Belgique par exemple on utilise toujours $\Z_n$ pour désigner les entiers modulo $n$. (Les nombres $n$-adiques sont très peu étudiés/utilisés de par chez nous.)
  • Sief
    Sief
    Même en France sont très peu étudiés.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La notation $\mathbb Z/n\mathbb Z$ a le grand avantage de ne pas être ambigüe et de désigner clairement l'objet en question : le quotient de l'anneau $\mathbb Z$ par l'idéal $n\mathbb Z$.
    En passant, l'ensemble des entiers modulo $n$, c'est exactement l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation de congruence modulo $n$.
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