Démonstration indicatrice d'Euler

La liste s'écrit
$$p,2p,3p,\dotsc,p^2,2p^2,3p^2,\dotsc,p^3,2p^3,\dotsc,p^\alpha.$$
Ensuite, il est facile de voir que, pour tout réel $x \geqslant 1$, le nombre de multiples d'un entier $d \geqslant 1$ qui sont $\leqslant x$ est égal à $\left \lfloor \frac{x}{d} \right \rfloor$.

Appliqué avec $x=p^\alpha$ et $d=p$, ce principe indique que le nombre de multiples de $p$ qui sont $\leqslant p^\alpha$ est égal à
$$\left \lfloor \frac{p^\alpha}{p} \right \rfloor = \left \lfloor p^{\alpha - 1} \right \rfloor = p^{\alpha-1}.$$