Problème avec 288 entiers

Bonjour,
Ne faut-il pas lire
tel que pour tout $i$ appartenant à $[1,288]$
$Q_i$ congru à $i$ modulo $288$ ?

Bonjour,

$Q_1=1; Q_{i+1}=Q_i+(288i+1)^3$?

Paul

Salut.
Je crois qu'il est suffisant de prendre $289^3$ à la place de $(288i + 1)^3$.

Bonjour,

Ben, si !

\begin{align}
Q_1&=1^3\\
Q_2&=1^3+289^3\\
Q_3&=1^3+289^3+577^3\\
Q_4&=1^3+289^3+577^3+865^3\\
Q_5&=1^3+289^3+577^3+865^3+1153^3\\
\dots\\
Q_{288}&=1^3+289^3+577^3+865^3+1153^3+\dotsb+83233^3
\end{align}

Effectivement ! Si c'était les $Q_i$, on pourrait ajouter $1 = 1^3$ (le problème n'en serait pas un).

Mais on peut prendre $(288(i-1) + 1)^3$, puisse qu'on part de $Q_1 = 1$.

Il y a en fait une infinité de familles qui conviennent: tous les $Q_{i+1} = Q_i + (288a(i-1) + 1)^3$ avec $Q_1 = 1\:\text{et}\: a\geq 1$.

Celle qui minimise $\sum_{i=1}^{288}Q_i$ est celle pour qui $a = 1$

En quelle classe es-tu?

issakha a écrit:

j'utilise le compte de mon frere 

Ces histoires de famille ne nous regardent pas :-D
Sais-tu écrire le développement en polynôme de $(x+1)^3$ ?

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@babsgueye : je doute de tes dernières affirmations : voudrais-tu calculer $Q_2$ avec ta formule de récurrence ?

Et que penses-tu de $Q_{i+1}=Q_i+(96i+1)^3$ ?

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@tous :
$Q_1=1$ est-il bien une somme de cubes d'impairs ? Si non, il y a moyen de s'arranger.

Amicalement. jacquot

Bonjour issakha,

l'énoncé me demande de montrer qu'il existe 288 entiers

C'est encore une affaire d'interprétation !
Il faut comprendre :
Pour tout entier $i\in [1;288]$ il existe un entier $n\in H $ qui est congru à $i $ modulo $288$, mais on ne demande pas l'unicité de $i $ qui d'ailleurs est fausse.
Il s'agit d'exhiber 288 tels entiers, un pour chaque $i $, mais pas de montrer que leur liste est close.
On aurait pu poser, par exemple, $Q_{28}=1^3+3^3$

As-tu recopié l'énoncé à la lettre dans ton premier message ? Si non, veux-tu nous le donner ?
Amicalement. jacquot

Merci JLT, Voir problème 1 question 3.

Pardon @jacquot, j'avais pas bien lu les contraintes sur les cubes qui doivent être strictement positifs.
Mais il faudra sinon trouver deux entiers $x$ et $y$ strictement positifs tels que $x^3 + y^3\equiv 1 \bmod 288$ partir de cette valeur $(Q_1)$ et utiliser la construction (suite) de dépasse.

Ah ok (j'ai pensé $i + 1 - 1$ en écrivant $ i - 1$)

Sinon pour le problème avec la somme, on trouve $Q_1 = 1 + 2^3 + 4^3 + 6^3 = 289 \equiv 1 \bmod288$ (comme c'est du niveau de la terminale; est ce que c'était pas visible à partir des questions précédentes ?) qui marche (après, on applique le raisonnement de @depasse).


Merci

$Q_1=1$ est-il bien une somme de cubes d'impairs ?

Bien sûr, \(Q_1=1\) est une somme, réduite à un terme, de cubes d'impairs :
\[Q_1 = \sum_{k=1}^1(2k-1)^3.\]