Nombre moyen de diviseurs

Paul Crion · April 2018

Bonjour,
je cherche une approximation du nombre moyen de diviseurs sur une plage de valeur allant de N à N+P.
J'ai trouvé dans un livre d'arithmétique que le nombre moyen de diviseurs pour un nombre de 1 à N est approximativement ln(N)+(2*c-1) avec c constante d'Euler-Mascheroni.
Ma question est la suivante: peut-on obtenir une approximation pour le nombre de moyen de diviseurs d'un nombre situé entre N et N+P ?
J'ai essayé avec le ln(N+P)*(N+P)-ln(N)*N et je divise par P... je vois bien que du nombre moyen, je peux déduire la somme (approximative) du nombre de diviseurs pour les nombres de 1 à N mais au passage je perds évidemment l'information sur la répartition du nombres de ces diviseurs...sur la plage P...sauf si la répartition du nombre de diviseurs suit une loi de probabilité(laquelle ?)...je suis un peux rouillé...help !
à partir de la moyenne on ne peut pas retrouver le détail de la répartition et je me demande si il n'existe pas des théorèmes qui me donneraient la répartition sur une plage de valeur P, c'est-à-dire pour des nombres de N à N+P.
Mes compétences en arithmétique sont limitées et je risque de buter sur des questions déjà résolues par d'autres.
Si quelqu'un a des idées....
J'ai déjà essayé de déterminer avec les formules de Landau les répartition des nombres "presque premiers" mais pour une plage de valeur, je n'arrive à rien...
Je me demande si en prenant des nombres de façon aléatoire entre N et N+P, je peux avoir quelque chose de "fiable" mais là encore, je ne maîtrise pas assez les lois de probabilité qui régissent les répartitions du nombre de diviseurs...
est-ce qu'il en existe ?
Merci pour toute aide qui m'éviterait de retrouver le fil à couper le beurre.

noix de totos · April 2018

Paul Crion a écrit:

peut-on obtenir une approximation pour le nombre de moyen de diviseurs d'un nombre situé entre N et N+P

Oui, mais il faut connaître la taille de P par rapport à celle de $N$. Par exemple, si $N^\varepsilon \leqslant P \leqslant N$, alors le théorème de Shiu montre que
$$\frac{1}{P} \sum_{N < n \leqslant N+P} \tau(n) \ll \log N.$$
Si tu souhaites une estimation plus précise, alors il est possible d'obtenir une égalité asymptotique, mais on ne peut pas se départir d'un terme d'erreur qui dépend de la taille de $N$. Plus précisément, en utilisant les meilleurs résultats connus actuellement, on a pour $1 \leqslant P \leqslant N$ et tout $\varepsilon > 0$
$$\frac{1}{P} \sum_{N < n \leqslant N+P} \tau(n) = \frac{1}{P} \int_N^{N+P} (1+\log t) \, \textrm{d}t + 2 \gamma - 1 + O_\varepsilon \left ( P^{-1} N^{517/1648 + \varepsilon} \right).$$
Cette égalité est une estimation précise. Si tu veux un résultat approximatif, elle te dit que, si $P$ est suffisamment grand devant $N^{517/1648} \approx N^{0,31371\dotsc}$, alors le nombre moyen de diviseurs entre $N$ et $N+P$ est
$$\approx \frac{1}{P} \int_N^{N+P} (1+\log t) \, \textrm{d}t + 2 \gamma - 1.$$
C'est plus précis que le renseignement qu'apporte le théorème de Shiu, mais c'est valide dans un intervalle plus petit que celui fournit par Shiu.

Paul Crion · April 2018

Bonjour,
merci pour ta réponse.
Je n'arrivais pas à m'en sortir avec les formules avec Ln...
Je vais regarder ce que cela donne avec des valeurs de plus en plus grandes de N et surtout si avec certaine valeurs de P, j'obtiens une relative "stabilité" du nombre moyen de diviseurs.
Existe-t-il a ta connaissance, des formules donnant la répartition du nombre de diviseurs sur une plage N,N+P ?
Du genre il y a 22% à 8 diviseurs sur cette plage, 15 % à 4 diviseurs...etc...ceci à l'aide de formules comme celle ci-dessus.
Si tu pouvais me donner les références d'un ouvrage ou d'un document dans lequel je pourrais trouver les résultat de Shiu et d'autres de ce type.
J'ai deux livres d'arithmétique mais c'est essentiellement de niveau licence.
NB: je m'intéresse à cette question car je m'amuse avec un graphe ayant un nombre dénombrable de nœuds dont chaque nœud possède un nombre de voisins égal au nombre de diviseurs de la durée N durant laquelle le graphe évolue. Je voudrais savoir quelle est (si elle existe), la dimension moyenne en terme de nombre de voisins de chaque nœud de ce graphe.
Je précise que je ne sais absolument pas si ce genre de question a un sens.
Merci encore pour ta réponse.

noix de totos · April 2018

Pour la première partie de ton message, si tu cherches des résultats sur la densité locale de la fonction $\tau$, i.e. la limite
$$\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} \sum_{\substack{n \leqslant x \\ \tau(n)=k}} 1$$
pour tout $k \geqslant 1$ entier, alors cette limite est nulle.

Pour la seconde partie, le théorème de Shiu est ici : https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0313?tify={"view":"info","pages":[165]}

Paul Crion · April 2018

Bonjour,
à première vue je ne sais pas si la stabilité va être au rdv,
j'aurais aimé trouver une plage P sur laquelle le nombre moyen est stable (enfin avec une variation assez modeste, cela me suffirait), quelle que soit la valeur de N,
il semble que si P augmente "avec" N, peut être que je peux espérer quelque chose...tout est dans le " P suffisamment grand" de ton message...il me faut quantifier cela.
Comme le nombre moyen dépend de N et P je vais essayer de voir ce qui se passe sur des simulations...
Je trouve étrange qu'on n'ai pas de formules nous donnant des plages P où il a une relative stabilité du nombre moyen,
enfin mon intuition en arithmétique étant très limitée...si tu as des idées..
Merci encore pour ton aide.

noix de totos · April 2018

Paul Crion a écrit:

Je trouve étrange qu'on n'ai pas de formules nous donnant des plages P où il a une relative stabilité du nombre moyen

Ça va être difficile : la fonction $\tau$, comme la plupart des fonctions arithmétiques classiques, a un comportement extrêmement erratique. L'ordre moyen arrive à "lisser" un tant soit peu ce comportement, mais il est influencé par les entiers $n$ dont le nombre de facteurs premiers distincts est environ égal à $2 \log \log n$ (voir le livre de Tenenbaum, Introduction à la Théorie Analytique et Probabiliste des Nombres , Belin, 2008, page 434).

Paul Crion · April 2018

Bonjour,
oui, je découvre que ces fonctions sont effectivement assez rétives, elles ne se laissent pas dompter facilement, en tant que débutant en arithmétique, je reste assez naïf sur le sujet...je commence juste à voir les écueils qui m'attendent.
Merci pour la référence, j'ai acheté ce livre il y a deux mois et je dois avouer que le courage me manque tant les sujets abordés semblent ardus...et pointus, je découvre pour l'instant les plaisirs sympathiques des congruences et autres sujets de base...en attendant d'aborder les sujets plus délicats.
Merci encore pour ton aide car ainsi, je n'ai pas à tout reprendre de zéro...et je peux mieux voir quelle direction prendre.
Cordialement.

noix de totos · April 2018

Le livre de Tenenbaum est effectivement une référence, mais correspond a minima à son cours qu'il donnait en DEA (i.e. M2 recherche dans la novlangue...).

Pour débuter en théorie analytique des nombres, si tu n'es pas fâché avec l'anglais, je te suggère plutôt la référence suivante : https://www.amazon.fr/Analytic-Number-Theory-Mathematics-Jean-marie/dp/B01JXMJ9I4/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1523438174&sr=8-2&keywords=anatomy+of+the+integers

Paul Crion · April 2018

Bonjour,
oui je crois que je vais commencer par ce livre...ce sera plus réaliste.
Merci pour tes conseils de lecture car sur internet, il est délicat de trouver des sources pertinentes au milieu des milliers de livres qui existent.
Maintenant au boulot...

noix de totos · April 2018

Bon courage !

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