Nombre d'or et partitions de $\N^*$

Cidrolin · April 2018

Bonjour,

On pose $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ et pour $n \geq 1 $, $ a_n=\lfloor n \varphi \rfloor$.

Montrer que les quatre suites suivantes forment une partition de $\N^*$ :

$x_n=3n+a_{2n}+2a_{n}$
$y_n=n+3a_{n}$
$z_n=2n-1+a_{n}$
$t_n=-n-1+a_{2n}$

Les premières valeurs sont : 75200

jandri · April 2018

Merci pour ce bel exercice. Pour laisser les autres chercher je ne donne pas la solution.

En fait j'ai triché pour le résoudre car bien que je connaissais les suites de Beatty et le cas particulier des suites de Wythoff je ne voyais pas comment généraliser à quatre suites. On peut d'ailleurs généraliser à un nombre quelconque de suites formant une partition de $\N^*$.

Cidrolin · April 2018

Merci Jandri. Ce que j'essayais de généraliser en fait, c'est le résultat de Moser et Lambek : https://en.wikipedia.org/wiki/Lambek–Moser_theorem

Amicalement

df · April 2018

J'ai essayé en vain de tordre le bras à l'énoncé de Cidrolin pour le ramener aux résultats généraux concernant les suites de Beatty.

Si $a$ et $b$ sont deux irrationnels supérieurs à 1, on définit $E_a$ :
\begin{equation}
E_a=\{\lfloor na \rfloor ,\ n \in \mathbb{N^*}\}
\end{equation}
Alors $E_a$ et $E_b$ (en particulier $E_{\varphi}$ et $E_{\varphi^2}$) forment une partition de $\mathbb{N^*}$.

J'avais pensé exprimer une nouvelle suite comme somme de deux suites afin de se ramener à la forme ci-dessous :
\begin{equation}
\forall n \in \mathbb{N^*},\ \lfloor n\varphi^2 \rfloor = \lfloor n\varphi \rfloor + n
\end{equation}

jandri · April 2018

Une indication pour df:

chacune des quatre suites de Cidrolin peut s'écrire comme la somme de quatre suites du type $u_n=\lfloor na \rfloor$.

Cidrolin · April 2018

Pour le théorème de Beatty, on classe les $n\varphi$ mélangés aux $n\quad$, ($n\geq1$).

On trouve $1\,; \,1,618\,; \,2\,; \,3; \, 3,236\,; \,4\,; \, 4,854\,; \,5\,;\, 6 \;;\, 6,472\,; \cdots$

Le rang des $n\varphi$ est $n+\lfloor n \varphi\rfloor$, celui des $n$ est $n+\lfloor\frac {n}{\varphi}\rfloor$ ou encore $\lfloor n \varphi\rfloor$.

C'est ainsi que l'on peut prouver que les deux suites ( $n+\lfloor n \varphi\rfloor$ et $\lfloor n \varphi\rfloor$ ) sont complémentaires.

Si on classe par ordre croissant les nombres qui sont soit du type $n\varphi^3$, soit $n\varphi^2$, soit $n\varphi$, soit $n$, et que l'on cherche le rang des $n\varphi^3$ on trouve :

$x_n=n+\lfloor n \varphi\rfloor+\lfloor n \varphi^2\rfloor+\lfloor n \varphi^3\rfloor$

On arrange ensuite avec $\varphi^2=\varphi+1$ et $\varphi^3=2\varphi+1$

Le rang des $n\varphi^2$ est $y_n=n+\lfloor n / \varphi\rfloor+\lfloor n \varphi\rfloor+\lfloor n \varphi^2\rfloor$.

Celui des $n\varphi$ est :$z_n=n+\lfloor n /\varphi^2\rfloor+\lfloor n / \varphi \rfloor+\lfloor n \varphi\rfloor$.

Enfin les entiers apparaissent aux rangs : $t_n=n+\lfloor n /\varphi^3\rfloor+\lfloor n / \varphi^2 \rfloor+\lfloor n /\varphi\rfloor$.

On arrange ensuite avec $1/\varphi^2=2-\varphi$ et $1/\varphi^3=2\varphi-3$.

Finalement on trouve les quatre suites du premier message. 75256

df · April 2018

Ingénieux ! Merci à Jandri pour l'indication.
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