Problème de bijoux

alban343 · April 2018

Bonjour, j'aimerais un coup de pouce sur cet exerccie tiré d'une olympiade.

Si Jean dépense tout son argent , il peut soit acheter que des bagues à 31 euros ou que des colliers à 19 euros et si'il veut mélanger bagues et colliers il peut le faire de 5 facons possibles.

Combien d'argent a Jean?

J'entends bien que la somme d'argent de Jean est multiple de 31 et 19 mais l'autre indice des 5 facons possibles m'arrête.

Merci de votre aide.

bisam · April 2018

- Que peut-on dire de 31 et 19 ?
- Quel nombre entier peut s'écrire exactement de 5 façons différentes comme somme de deux entiers naturels non nuls ?

GaBuZoMeu · April 2018

On peut échanger 19 bagues contre 31 colliers ....

jacquot · April 2018

Le PPCM de $19$ et $31$ est $19\times 31$

La somme dont dispose Jean est un multiple de ce nombre

Si, par exemple, il dispose de $3\times 19\times 31$,
Il peut répartir ses achats comme suit:
$57\times 31$ que des bagues
$38\times 31 + 31\times 19$ : 38 bagues et 31 colliers
$19\times 31 + 62\times 19$...
$ 93\times 19$ ...
Montrer qu'il n'y a pas d'autre répartition possible pour cette somme.

$3\times 19\times 31$ n'est donc pas solution, mais ça peut donner des idées.
Amicalement. jacquot

alban343 · April 2018

Merci beaucoup! je devrais y arriver à présent!

babsgueye · April 2018

Bonjour.
$3\times19\times31$ donne des idées, mais je crois qu'il faut aller jusqu'à $6\times19^2\times31^2$

jacquot · April 2018

Là tu y vas un peu fort, babsgueye !
Présentement, il ne s'agissait pas de résoudre le problème, mais de mettre alban343 sur la voie.

À me relire, j'ai d'ailleurs le sentiment d'en avoir trop dit. La remarque de GBZM aurait été suffisante, mais je ne poste pas aussi vite que lui.
Amicalement. jacquot

babsgueye · April 2018

Mais depuis hier, il n'a pas réagi, et j'ai pas mis de détails. je pense qu'il va essayer de retrouver le résultat.

Merci. Je tiendrais compte de la remarque prochainement....