Analytic class number formula
Réponses
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Oui, je vois bien le problème que tu pointes ! Ca risque d'être vraiment vraiment tendu si on lit l'extrait de doc. On a déjà vu le problème hier avec le petit exemple de corps quadratiques.
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$\def\Frob{\text{Frob}}$@moduloP
Oui, mais cela serait bien que l'on prenne quelques instants pour comprendre ce qui se passe et quel est le bon calcul. Je commence par la fin avec un résultat détestable, à savoir une différence de $q^{283}$ sur deux séries qui devraient être les mêmes.
> precision ; 400 > FormalSeries(Lrho3rho2,precision) - FormalSeries(L3oL2,precision) ; q^283 <----- ICI > Factorization(Conductor(Lrho3rho2)) ; [ <283, 3> ] > Factorization(Conductor(L3oL2)) ; [ <283, 4> ]
Lrho3rho2 c'est la L-série du produit tensoriel $\rho_3 \otimes \rho_2$ tandis L3oL2 c'est la L-série produit tensoriel $L(\rho_3) \otimes L(\rho_2)$.
Tu ne dois pas me faire confiance : je suis susceptible, à la demande, de te montrer ce qui s'est passé avant de manière précise.
Je te montre les $p$-Euler facteurs concernés avec $p = 283$ (le discriminant de $F = X^4-X-1$ est $-p$). Note : pas de garbage dans $F$ car son discriminant est sans facteur carré.
> // Disc(F) = -283 > p := 283 ; > Factorization(F, GF(p)) ; [ <$.1 + 18, 1>, <$.1 + 168, 1>, <$.1 + 190, 2> ] > > ZT!EulerFactorDenominator(L3,p) ; T^2 - 2*T + 1 > ZT!EulerFactorDenominator(L2,p) ; -T + 1 > ZT!EulerFactorDenominator(Lrho3rho2,p) ; -T^3 + 3*T^2 - 3*T + 1 > ZT!EulerFactorDenominator(L3oL2,p) ; T^2 - 2*T + 1 > ZT!OtimesProduct(EulerFactorDenominator(L3,p), EulerFactorDenominator(L2,p)) ; T^2 - 2*T + 1
Pour l'instant, je n'ai pas les moyens de faire déterminer $\Frob_p$ (celui de $\Q(x)^{\rm gal.}/\Q$ où $x$ est une racine de $F$). J'aimerai bien pouvoir déterminer $V_3^{I_p}$, $V_2^{I_p}$, $(V_3 \otimes V_2)^{I_p}$, -
Tu peux faire des calculs sur les représentations, par exemple les restreindre à $D(\mathfrak{P})$ et les re décomposer en irréductible ?
Je pense comprendre un peu mais je ne peux pas faire de calcul, moi.
Sinon, un mot clef : Rankin Selberg convolution. C'est le nom de code de l'opération $\odot$ si j'ai bien compris, mais ils utilisent ça dans un contexte analytique ... -
$\def\pp{\mathfrak p}\def\Gal{\text{Gal}}\def\GL{\text{GL}}\def\Frob{\text{Frob}}\def\Diag{\text{Diag}}$@moduloP
C'est ce que j'ai fini par faire (calcul sur les représentations ...etc...) et j'ai compris (et appris) un certain nombre de choses. Ce qui s'est passé (posts précédents) est en un certain sens ``normal'' : il faut renseigner correctement la série à élaborer $L(\rho_3) \otimes L(\rho_2)$ aux premiers $p$ qui sont ramifiés dans les deux L-séries.
Un extrait où j'interroge le signe (de l'équation fonctionnelle) des L-séries.
> Sign(L2) ; 1 > Sign(L3) ; 1 > Sign(Lrho3rho2) ; 1 > L3oL2 := TensorProduct(L3,L2) ; WARNING: 283 is ramified in each part of tensor prod > Sign(L3oL2) ; 0 <--- PAS BON DU TOUT
Le signe 0 pour $L_3 \otimes L_2$ est un signe de mauvaise santé. Voici la bonne manière de monter $L_3 \otimes L_2$ : au premier $p = 283$, il faut spécifier la valuation du conducteur local en $p$ (ici c'est 3) et le dénominateur du $p$-Euler facteur, ici c'est $(1-T)^3$ d'où le <283, 3, (1-T)^3>. Je vais expliquer après d'où sortent ces informations.
> L3oL2 := TensorProduct(L3, L2, [<283, 3, (1-T)^3>]) ; > Sign(L3oL2) ; 0 <--- PAS ENCORE BON > time CheckFunctionalEquation(L3oL2) ; 1.41994962939782124974111141751E-29 Time: 18.320 > Sign(L3oL2) ; 1.00000000000000000000000000001 <--- GOOD
Tu noteras qu'aussitôt l'élaboration du produit tensoriel, le signe est toujours 0 (mauvaise santé). Il faut alors faire un truc de sorcier des implémenteurs : le coup du CheckFunctionalEquation, qui doit te retourner $\simeq 0$, si tout va bien. C'est assez long (18 secondes) mais pendant ce temps là, la L-série s'est auto-corrigée : elle a dû calculer un certain nombre de ses coefficients $a_n$ en utilisant les $p$-Euler facteurs, des $\Gamma$-facteurs ...etc... Et elle finit par renseigner certains de ses champs qui ne l'étaient pas. Cela me dépasse un peu (= beaucoup). En tout cas, le résultat est une L-série saine.
Quelques explications concernant $F = X^4 - X-1$ de discriminant $-283$. Je note $L$ son corps de décomposition sur $\Q$.
0. Sur $\Q$, le polynôme $X^n-X-1$ est irréductible (Selmer). J'attache une démo.
1. De manière générale, si $L/\Q$ est une extension galoisienne, son groupe de Galois est engendré par les sous-groupes d'inertie.
2. Soit $F = X^n - X - 1$ sur $\Q$. Il est séparable et on a une formule pour son discriminant. Soit $G \subset S_n$ son groupe de Galois. Alors les groupes d'inertie non triviaux sont engendrés par une transposition. Serre, Topics in Galois Theory, p. 42. Et donc $G$ est un sous-groupe TRANSITIF de $S_n$ (car $X^n - X - 1$ est irréductible) et engendré par DES transpositions. Donc $G = S_n$ (Jordan).
3. Pour $n=4$, au dessus de l'unique premier ramifié $p=283$, on a $D(\pp) = I(\pp)$ pour $\pp$ premier de $L$ i.e. degré résiduel égal à 1. Donc le Frobenius en $p$ de $L/\Q$, défini à conjugaison près modulo l'inertie, est l'identité. Donc pour tout représentation $\rho : G = \Gal(L/\Q) \simeq S_4 \to \GL(V)$, le dénominateur du $p$-Euler facteur :
$$
\det\nolimits_{\rm IN} (\text{I}_V - \rho(\Frob_p)T) = \det\nolimits_{\rm IN} (\text{I}_V - T) = (1-T)^{\dim V^I}
$$
Ce que je note $\det_{\rm IN}$, c'est le déterminant tenant compte de l'Inertie Neutralisée. Et tout à droite, le $I$ dans $V^I$ est n'importe quel groupe d'inertie au dessus de $p$.
4. Il ne reste plus qu'à faire les calculs pour les représentations $\rho_3, \rho_2, \rho_3 \otimes \rho_2$ de $S_4$ (qu'il faut connaître un peu, Serre, Représentation linéaire des groupes finis, page 58). Il faut surtout calculer $\rho_3(\tau)$, $\rho_2(\tau)$ où $\tau$ est une transposition, générateur d'inertie au dessus de $p = 283$. Je passe les détails :
$$
\rho_3(\tau) \quad\buildrel {\rm conj.} \over \sim\quad \Diag(1,1,-1), \qquad \qquad \rho_2(\tau) \quad\buildrel {\rm conj.} \over \sim\quad \Diag(1,-1)
$$
Mais $\Diag(a_i) \otimes \Diag(b_j) = \Diag(a_ib_j)$ donc :
$$
(\rho_3 \otimes \rho_2)(\tau) \quad\buildrel {\rm conj.} \over \sim\quad \Diag(1,1,1, -1,-1,-1)
$$
C'est LA le drame. Il suffit de compter le nombre de 1 dans les Diag pour avoir la dimension du sous-espace des points fixes. On a $V_3^I \otimes V_2^I$ de dimension $2 \times 1 = 2$ versus $(V_3 \otimes V_2)^I$ de dimension 3. A fortiori, on n'a PAS $(V_3 \otimes V_2)^I = V_3^I\otimes V_2^I$. C'est la cata si on ne renseigne pas correctement le produit tensoriel des deux L-séries (en cas de non-renseignement, elle fait comme si $(V_3 \otimes V_2)^I = V_3^I\otimes V_2^I$).
Et pour le dénominateur des facteurs locaux en $p=283$ :
$$
\rho_3 : (1-T)^2 \qquad \rho_2 : (1-T)^1 \qquad \rho_3 \otimes \rho_2 : (1-T)^3
$$
Tout colle. Je zappe sur la valuation 3 du conducteur en $p = 283$. -
Merci Claude, c'est ce que j'avais en tête le coup de $-1 \times -1 = 1$. Ca sent un peu le souffre cette histoire !
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Un question de débutant, est-ce que tu peux corriger ou valider ce que je raconte (en théorie je ne devrai pas utiliser le mot produit tensoriel car je ne connais pas assez).
En gros, ici ce qu'on a fait c'est :
Soit $K$ et $L$ deux corps de nombres juste linéairement disjoint. $\mathcal{L}_K$ et $\mathcal L_L$ les fonctions zeta de Dedekind respective i.e les fonctions $L$ au sens de Weil des anneaux d'entiers $\mathcal{O}_K$ et $\mathcal{O}_L$, i.e les $q$-séries associées aux fonctions zeta de Dedekind.
En gros, l'opération que l'on a défini représente l'égalité :
$$
\mathcal{L}_{K} \odot \mathcal{L}_L = \mathcal{L}_{\mathcal{O}_K \otimes \mathcal{O}_L}
$$
Mais on dispose d'une application (injective) $\mathcal{O}_K \otimes \mathcal{O}_L \to \mathcal{O}_{KL}$. Et le truc qui casse les pieds c'est que ce n'est pas surjectif et si on souhaite obtenir $\mathcal{L}(KL)$ on doit un peu la corriger ! -
$\def\calO{\mathcal O}\def\Disc{\text{Disc}}$@moduloP
Oui mais dans tes affaires, si $K_1/\Q$ et $K_2/\Q$ sont arithmétiquement disjoints sur $\Q$, ce qui inclue linéairement disjoints sur $\Q$, pas de problème. Car d'une part le compositum $K_1K_2$ est bien défini, ET $\calO_{K_1K_2} = \calO_{K_1} \otimes \calO_{K_2}$ ET les discriminants de $K_1, K_2$ sont premiers entre eux (donc pas de $p$ ramifié des deux côtés).
Autre chose concernant la valuation en $p$ du conducteur dans le cas simple de la fonction zeta de Dedekind $\zeta_K$ d'un corps de nombres $K$ de degré $n$. Le conducteur local en $p$ de $\zeta_K$ a pour valuation $v_p(|\Disc(\calO_K)|)$. Et le conducteur global est la valeur absolue $|\Disc(\calO_K)|$ du discriminant.
Il y a un lien avec le $p$-Euler facteur de $\zeta_K$ qui est :
$$
{1 \over \prod_{i=1}^g (1 - T^{f_i}) }
$$
avec les notations habituelles pour les $f_i$ in $p\calO_K = \prod_{i=1}^g \mathbb p_i^{e_i}$. Bien sûr, on a neutralisé l'inertie.
SI la ramification en $p$ est modérée, la valuation en $p$ du discriminant est
$$
n - \sum_i f_i = [K : \Q] - \text{ degré du dénominateur du $p$-Euler facteur}
$$
En effet (Hilbert) la différente locale est $\prod_{i=1}^g \mathbb p_i^{e_i-1}$ et un coup de norme conduit à
$$
\prod_{i=1}^g p^{f_i(e_i-1)} = p^{\sum_i (e_if_i - f_i)} = p^{n - \sum_i f_i}
$$
Si la ramification n'est pas modérée, on ne coupe pas aux groupes de ramification d'ordre supérieur comme tu me l'as dit un jour. -
@moduloP
On a posté en même temps avec la même idée en tête. -
Les grands esprits se rencontrent :-D
Bon, super, merci beaucoup Claude, au moins j'y vois un peu plus clair dans cette construction. -
C'est rigolo, car maintenant si je regarde un peu la forme des $p$-facteurs de la fonction $L$ d'une courbe elliptique, on a l'impression d'y voir un $\odot$ produit. Un produit par une représentation induite par un caractère de Hecke (un peu ce qu'on a fait avec les corps) et d'une $L$ série
$$
\sum_{n \geq 1} \sqrt{n} q^n
$$
Je fais essayé de faire un petit exemple, histoire de voir que ça marche pas aussi simplement (je commence à avoir l'habitude, a chaque fois que j'ai une idée, ça marche un peu mais en fait ça marche jamais aussi bien que je veux ):-D
Edit : Là c'est du grand n'importe quoi, je dois changer de lunette peut-être 8-) -
@moduloP
A propos de L-séries de courbes elliptiques, faut que je te raconte une histoire de fous. Il s'agit des frères Dokchister (T. et V.), les implémenteurs en magma de la géométrie arithmétique. Ce qui suit est une adaptation d'un passage vu dans la doc magma (et écrits par eux).
Il s'agit de monter la $L$-série de courbes elliptiques rationnelles de petit conducteur connu $N$ mais tu ne connais pas les courbes elliptiques en question, tu ne sais même pas qu'il existe de telles courbes. Par exemple, il n'y a pas de courbe elliptique de conducteur $< 11$. C'est dans le contexte où tu n'as pas les moyens : pas de data-base de courbes, pas d'outils sur les formes modulaires ...etc... Un peu la misère, quoi.
On va jouer avec le conducteur $N = 11$.
Bien sûr, si tu es riche, c'est vite plié car tu consultes la data base de Cremona :
> EllipticCurvesOfConductor11 := EllipticCurves(CremonaDatabase(), 11) ; > EllipticCurvesOfConductor11 ; [ Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 10*x - 20 over Rational Field, Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 7820*x - 263580 over Rational Field, Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 over Rational Field ] > [qExpansion(ModularForm(E), 50) : E in EllipticCurvesOfConductor11] ; [ q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 - 2*q^10 + q^11 - 2*q^12 + 4*q^13 + 4*q^14 - q^15 - 4*q^16 - 2*q^17 + 4*q^18 + 2*q^20 + 2*q^21 - 2*q^22 - q^23 - 4*q^25 - 8*q^26 + 5*q^27 - 4*q^28 + 2*q^30 + 7*q^31 + 8*q^32 - q^33 + 4*q^34 - 2*q^35 - 4*q^36 + 3*q^37 - 4*q^39 - 8*q^41 - 4*q^42 - 6*q^43 + 2*q^44 - 2*q^45 + 2*q^46 + 8*q^47 + 4*q^48 - 3*q^49 + O(q^50), q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 - 2*q^10 + q^11 - 2*q^12 + 4*q^13 + 4*q^14 - q^15 - 4*q^16 - 2*q^17 + 4*q^18 + 2*q^20 + 2*q^21 - 2*q^22 - q^23 - 4*q^25 - 8*q^26 + 5*q^27 - 4*q^28 + 2*q^30 + 7*q^31 + 8*q^32 - q^33 + 4*q^34 - 2*q^35 - 4*q^36 + 3*q^37 - 4*q^39 - 8*q^41 - 4*q^42 - 6*q^43 + 2*q^44 - 2*q^45 + 2*q^46 + 8*q^47 + 4*q^48 - 3*q^49 + O(q^50), q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 - 2*q^10 + q^11 - 2*q^12 + 4*q^13 + 4*q^14 - q^15 - 4*q^16 - 2*q^17 + 4*q^18 + 2*q^20 + 2*q^21 - 2*q^22 - q^23 - 4*q^25 - 8*q^26 + 5*q^27 - 4*q^28 + 2*q^30 + 7*q^31 + 8*q^32 - q^33 + 4*q^34 - 2*q^35 - 4*q^36 + 3*q^37 - 4*q^39 - 8*q^41 - 4*q^42 - 6*q^43 + 2*q^44 - 2*q^45 + 2*q^46 + 8*q^47 + 4*q^48 - 3*q^49 + O(q^50) ]
On voit qu'il y a 3 courbes elliptiques de conducteur 11. En fait elles isogènes deux à deux, ce qui explique que les formes modulaires sont les mêmes (via un résultat profond, je crois). Note : l'une d'elle est $X_0(11)$.
Mais on a dit que l'on n'avait pas les moyens. Sauf que l'on a les frères D. avec nous : via CheckFunctionalEquation (qui doit retourner un résultat PETIT en cas de bonne santé), la $L$-série va s'entretenir au fur et à mesure. On va utiliser que le $p$-facteur de la $L$-série d'une courbe elliptique rationnelle de conducteur $N$, dont la trace du Frobenius en $p$ est $a_p$, vaut :
$$
{1 \over 1 - a_pX + pX^2} \qquad \hbox {si $p \not\mid N$} \qquad\qquad\quad
{1 \over 1 - a_pX} \qquad \hbox {si $p \mid N$}
$$
On va utiliser aussi la borne de Hasse : $|a_p| < 2\sqrt p$. Ce sont les $a_p$ que l'on cherche. Of course $a_1 = 1$.
On monte la $L$-série la plus pauvre qui soit avec quelques bons renseignements quand même (le poids 2, ...etc..)
> // |a_p| < 2*Sqrt(p) > HasseBound := func < p | Floor(2*Sqrt(p)) > ; > > EllipticEulerDenominator := func < N, p, ap | 1 - ap*X + ((N mod p) eq 0 select 0 else p)*X^2> ; > > L := LSeries(Weight, GammaOffsets, Conductor, Ignare : Sign := 1) > where Weight is 2 where GammaOffsets is [0,1] where Conductor is 11 where Ignare is 0 ; > > LCfRequired(L) ; 48
Elle a beau être pauvre, elle nous dit qu'une fois que 48 coefficients $a_n$ seront calculés, elle sera capable de vérifier si elle est cohérente.
On cherche un $a_2$ convenable dans l'intervalle de Hasse :
> h := HasseBound(2) ; > h ; 2 > for a2 := -h to h do for> LSetCoefficients(L, [1, a2]) ; for> epsilon := CheckFunctionalEquation(L) ; for> printf "a2 = %o epsilon = %o\n", a2, epsilon ; for> end for ; a2 = -2 epsilon = 0.00844809870747809018757958838049 a2 = -1 epsilon = 0.0755749832878251560860400130984 a2 = 0 epsilon = 0.142701867868172221984500437816 a2 = 1 epsilon = 0.209828752448519287882960862534 a2 = 2 epsilon = 0.276955637028866353781421287252
La valeur $a_2 = -2$ fournit le plus petit $\varepsilon$. On fait donc le PARI que $a_2 = -2$.
> a := [] ; a[2] := -2 ; > LSetCoefficients(L, func <p, unused | p eq 2 select EllipticEulerDenominator(11, 2, a[2]) else 1>) ; > > S<q> := FormalSeries(L, 50) ; > S ; q - 2*q^2 + 2*q^4 - 4*q^16 + 8*q^32
La connaissance que l'on espère correcte de $a_2$ permet le calcul des $a_{2^r}$.
Play again avec $a_3$. Cette fois, $a_3 = -1$ fournit le plus petit $\varepsilon$. On fait donc le PARI $a_3 = -1$.
> h := HasseBound(3) ; > h ; 3 > for a3 := -h to h do for> a[3] := a3 ; for> LSetCoefficients(L, func <p, unused | p in {2,3} select EllipticEulerDenominator(11, 2, a[p]) else 1>) ; for> epsilon := CheckFunctionalEquation(L) ; for> printf "a3 = %o epsilon = %o\n", a3, epsilon ; for> end for ; a3 = -3 epsilon = 0.0354954635446416366006303489428 a3 = -2 epsilon = 0.0181483991995226535364629437020 a3 = -1 epsilon = 0.000798020181320516365422316341954 a3 = 0 epsilon = 0.0165556735099647794573564832155 a3 = 1 epsilon = 0.0339126818743332384767384050482 a3 = 2 epsilon = 0.0512730049117848652375883992343 a3 = 3 epsilon = 0.0686366426223196642847714158515 > > a[3] := -1 ; > LSetCoefficients(L, func <p, unused | p in {2,3} select EllipticEulerDenominator(11, 2, a[p]) else 1>) ; > FormalSeries(L, 50) ; q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + 2*q^6 - q^9 - 2*q^12 - 4*q^16 + 2*q^18 + 3*q^27 + 8*q^32 - 2*q^36 + 4*q^48
En espérant que l'on a bien $a_2 = -2$ et $a_3 = -1$, on sait calculer les $a_{2^i3^j}$.
La totale, en automatisant tout cela, ce qui devient cryptique comme souvent.
> // On recommence tout > a := [] ; > Try := function(p0, a_p0, a) function> a[p0] := a_p0 ; function> LSetCoefficients(L, func <p, unused | p le p0 select EllipticEulerDenominator(11, p, a[p]) else 1>) ; function> epsilon := CheckFunctionalEquation(L) ; function> return Abs(epsilon) ; function> end function ; > > borne := 30 ; > time for p in PrimesInInterval(2,borne) do time|for> h := HasseBound(p) ; time|for> _, indice := Min([Try(p,ap,a) : ap in [-h .. h]]) ; time|for> // Indices = [1..2*h+1] --> [-h..h] = Intervalle de Hasse time|for> // tenir compte de la translation indice -> indice - (h+1) time|for> a[p] := indice - (h + 1) ; time|for> end for ; Time: 1.240 > > LSetCoefficients(L, func <p, unused | p le borne select EllipticEulerDenominator(11, p, a[p]) else 1>) ; > E := EllipticCurvesOfConductor11[1] ; > FormalSeries(L,borne) - qExpansion(ModularForm(E),borne) ; O(q^30) <---- ICI
Bingo, comme tu vois ICI. Ils sont fous, ces frères D. -
Claude,
c'est $48$ coefficients $a_p$ avec $p$ premiers, c'est ça ? -
@moduloP
Non, je ne crois pas. C'est le nombre de coefficients $a_n$, ici $1 \le n \le 48$, pour fournir une estimation correcte de $L(s)$
> LCfRequired ; Intrinsic 'LCfRequired' Signatures: (<LSer> L) -> RngIntElt [; Precision ] How many Dirichlet coefficients are needed to compute L(s).
Parce que, figure toi, une L-série, c'est aussi un objet analytique $s \mapsto \sum_{n \ge 1} a_n/n^s$. Pour l'instant, nous on zappe un max sur cet aspect.
Je reconnais que j'ai pas bien fait mon boulot car j'ai pris la borne 30 un peu n'importe comment. Mais quand même, quand j'interroge $L$ après mon binz :
> CheckFunctionalEquation(L) ; 9.59361683934078883453260566766E-21
Cela signifie : moi, série $L$ avec les $a_p$ que l'on m'a donné (et les $a_n$ que je sais calculer avec cette information), j'ai une certaine cohérence.
Par comparaison, ce matin, avec la série $L(\rho_3) \otimes L(\rho_2)$, MAL montée, voici le nombre de coefficients à calculer
> L3oL2 := TensorProduct(L3,L2) ; WARNING: 283 is ramified in each part of tensor prod > LCfRequired(L3oL2) ; 5437099
Je me suis amusé à faire CheckFunctionalEquation(L3oL2), tout en sachant que son $p$-Euler facteur était incorrect pour $p = 283$. Et donc que ce n'était pas une L-série valide.
Une heure après, la pauvre, elle turbinait encore pour se faire une beauté. Deux gros handicaps : un $p$-facteur erroné, c'est pas bon et 5437099 coefficients à calculer, cela se mérite. Cela s'est terminé par CTRL-C de ma part.
Par contre, avec $L(\rho_3) \otimes L(\rho_2)$ correctement montée (un bon $p$-Euler facteur pour $p = 283$), les choses s'arrangent. Mais on voit que le nombre de coefficients à déterminer ci-dessous est énorme par rapport à 48. C'est une histoire de taille de conducteur.
> LCfRequired(L3oL2) ; 323202 > time CheckFunctionalEquation(L3oL2) ; 1.41994962939782124974111141751E-29 Time: 17.880 > Sign(L3oL2) ; 1.00000000000000000000000000001
-
Ok, marrant le coup de $5437099$ !
Oui, j'ai cru comprendre qu'il y a un peu d'analyse quelque part :-D On va dire que la partie combinatoire est a peu près comprise mais il y a encore beaucoup de mystère dans ces histoires, faut lire un peu :-D -
$\def\DLD{\text{DLD}}$@moduloP
Le pdf que tu pointes, je l'ai depuis longtemps sur ma machine. Ce n'est pas pour autant que je l'ai lu. Oui, on a compris quelques trucs que l'on a illustré avec des exemples. Tu peux constater que Cox, qui donne pourtant beaucoup d'exemples, a très peu illustré le théorème de Bruckner. J'ai moins peur de la correspondance entre formes modulaires de poids 1 et représentations galoisiennes de dimension 2, comme j'ai essayé de le raconter in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1641672,1661742#msg-1661742
J'avais l'intention de regarder plus attentivement le corps de décomposition $L$ de $X^4 - a$ comme extension 4-cyclique de $K = \Q(i)$ du point de vue Kummer et Class Field Theory. J'avais commencé des bricoles et il y a eu le débarquement de $\odot$, Witt et $\boxplus$ ...etc..
A propos de Witt, je reviens sur les Witt-coordinates et les ghost-components. Je suis à chaque fois surpris, pour tout anneau commutatif $A$, et toute série $S \in 1 + tAt$ que l'on puisse l'écrire, de manière unique en un certain sens, comme un produit infini :
$$
S = {1 \over 1 - w_1t} {1 \over 1 - w_2t^2} {1 \over 1 - w_3t^3} \cdots = \prod_{d \ge 1} {1 \over 1 - w_dt^d} \qquad w_d \in A \qquad\qquad (\star)
$$
H. Lenstra en parle à la dernière page de https://math.berkeley.edu/~hwl/papers/witt.pdf. Cf aussi page 4 https://arxiv.org/pdf/1407.1813.pdf. Les $w_d$ sont les Witt-coordinates de $S$.
Je fais le truc suivant, en notant $\DLD$ la dérivée logarithmique décalée :
$$
\DLD\left({1 \over 1-at^d} \right) = {d\ at^d \over 1 - at^d} = \sum_{k \ge 1} d\ a^k t^{dk}
$$
En donnant un coup de $\DLD$ à $(\star)$
$$
\DLD(S) = \sum_{k,d \ge 1} d w_d^k t^{dk}
\qquad \hbox {de sorte que le coefficient de $t^n$ dans $\DLD(S)$ est} \qquad
\sum_{k,d \atop kd = n} d w_d^k = \sum_{d \mid n} d w_d^{n/d}
$$
Résumons. En notant $\DLD(S) = \sum_{n \ge 1} g_nt^n$ (les ghost-components de $S$), on a :
$$
g_n = \sum_{d \mid n} d w_d^{n/d} = \sum_{d \mid n \atop d < n } d w_d^{n/d} + n w_n \qquad \hbox {d'où} \qquad
w_n = {g_n - \sum_{d \mid n \atop d < n } d w_d^{n/d} \over n}
$$
La formule de droite permet de calculer $w_n$ par récurrence sur $n$. SAUF qu'il faut assurer la divisibilité par $n$. Et $n$ pourrait être nul dans l'anneau. Il faut donc travailler au dessus de $\Z$ avec une série formelle générique et assurer la divisibilité. Le faire directement doit conduire dans le mur je pense. C'est bien pour cela qu'il faut assurer le fondement de l'anneau de Witt $W(A)$ et qu'il y a du boulot pour ce fondement. Mais c'est écrit en pas mal d'endroits.
Il y a donc trois systèmes de coordonnées :
$$
S = 1 + \sum_{n \ge 1} a_n t^n = \prod_{d \ge 1} {1 \over 1 - w_dt^d} , \qquad\qquad \DLD(S) = \sum_{n \ge 1} g_nt^n
$$
Le coup de la division exacte, ce n'est pas ce qui empêche de programmer, il suffit d'y croire.
J'ai changé un peu de structure en travaillant avec des Lazy series. Il n'y a plus d'histoires de précision, juste un algorithme dans le coeur de la bête. Ci-dessous, je fais calculer deux fois le coefficient d'indice $10^5$ pour être sûr que le tirage aléatoire a été fait et est figé dans la bête.
> Z := IntegerRing() ; > LPS<t> := LazyPowerSeriesRing(Z,1) ; > LPS ; Lazy power series ring in 1 variable over Integer Ring > // Une série au hasard de terme constant 1 > S := elt<LPS| map <Z -> Z | n :-> n eq 0 select 1 else Random(-10^2,10^2)>> ; > S ; Lazy power series > Coefficient(S, 10^5) ; -92 > Coefficient(S, 10^5) ; -92 > NombreDeTermes := 20 ; > PrintToPrecision(S,NombreDeTermes) ; 1 - 72*t + 33*t^2 - t^3 - 43*t^4 + 27*t^5 + 93*t^6 - 84*t^7 + 33*t^8 + 67*t^9 + 11*t^10 + 44*t^11 + 4*t^12 - 70*t^13 + 92*t^14 + 14*t^15 - 72*t^16 + 25*t^17 - 82*t^18 + 15*t^19 - 53*t^20
C'est parti mon kiki. La fonction Witt , c'est de mézigue. Le résultat $W$ est un algorithme sous forme de série :
> W := Witt(S) ; > W ; Lazy power series > PrintToPrecision(W,NombreDeTermes) ; -72*t - 5151*t^2 + 2375*t^3 - 26532916*t^4 + 12230556*t^5 - 6230953*t^6 + 62999873693*t^7 - 704024668546984*t^8 + 324513751071151*t^9 - 314874354304889*t^10 + 1671646539833554885*t^11 - 1541000897586647933*t^12 + 8611043787022382707417*t^13 - 12323717371572289114688*t^14 + 44357508127019742233970428*t^15 - 495691624446684005103294735118*t^16 + 228505361926645348040069671405*t^17 - 432312076119354830591053400320*t^18 + 1177133305448267820849348882485046*t^19 - 2169993468339630377349355194473012*t^20
Il faut quand même vérifier si $(1 - w_1t)^{-1} (1 - w_2t^2)^{-1} (1 - w_3t^3)^{-1} \cdots$ redonne la série de départ. Je fais aussi afficher GS ${}= \DLD(S)$.
> Wquotient := &*[(1 - Coefficient(W,n)*t^n)^-1 : n in [1..NombreDeTermes]] ; > PrintToPrecision(Wquotient,NombreDeTermes) ; 1 - 72*t + 33*t^2 - t^3 - 43*t^4 + 27*t^5 + 93*t^6 - 84*t^7 + 33*t^8 + 67*t^9 + 11*t^10 + 44*t^11 + 4*t^12 - 70*t^13 + 92*t^14 + 14*t^15 - 72*t^16 + 25*t^17 - 82*t^18 + 15*t^19 - 53*t^20 > GS := t * Derivative(S) * S^-1 ; > PrintToPrecision(GS,NombreDeTermes) ; -72*t - 5118*t^2 - 366123*t^3 - 26192206*t^4 - 1873764852*t^5 - 134047310241*t^6 - 9589613888437*t^7 - 686031628403710*t^8 - 49078033865135508*t^9 - 3510994695203717288*t^10 - 251173137530793990793*t^11 - 17968681383439863636433*t^12 - 1285461948015813706836731*t^13 - 91960694529287618304778047*t^14 - 6578778431646671206258502343*t^15 - 470639395170243390928772095198*t^16 - 33669083491351236725203529660227*t^17 - 2408653408067386837796598262376376*t^18 - 172312716551519123819392728992980734*t^19 - 12327083749748643543132652739362503076*t^20 -
Hello Claude,
Je vais regarder un peu mieux les histoires de Witt. Je suis entrain de regarder ce que sage a en stock concernant les Lazy series (c'est pas mal comme objet je pense).
Sinon, je suis partant pour $X^4-a$, je ne sais connais pas du tout la théorie de Kummer, je suppose que c'est le calcul des Frobenius pour les extensions cycliques sans utiliser la théorie du corps de classes ? -
En fait, le premier truc c'est de regarder l'endomorphisme de groupe : $x \mapsto x^4$ de $\mathbb{F}_p^\star$. Il y a une petite différence avec la situation $x \to x^3$ (que tu as déjà fait, je pense avec $x^3-a$), c'est qu'elle n'est pas bijective quand $p \ne 1 \pmod{4}$.
Par contre, ce que l'on peut faire c'est regarder :$\mathbb{F}_p^\star \to \mathbb{F}_p^2$, dans ce cas là : si $p \ne 1 \pmod{4}$ alors elle est surjective (car $2$ ne divise pas $\frac{p-1}{2}$). -
$\def\Gal{\text{Gal}}\def\UU{\mathbb U}\def\PP{\mathbb P}$@moduloP
Pour moi, dans la correspondance de Kummer, il n'y a pas d'arithmétique. On part d'un corps $K$ contenant les racines de l'unité $\UU_n$. La correspondance en question établit une bijection explicite entre les sous-groupes finis $\Gamma = A/K^{*n}$ de $K^*/K^{*n}$, où $K^{*n} \subset A \subset K^*$, et les extensions $n$-abéliennes $L/K$. Ici, $n$-abélienne, cela signifie que $G = \Gal(L/K)$ vérifie $\sigma^n = 1$ pour tout $\sigma \in G$.
Dans un sens, c'est : $\Gamma =A/K^{*n} \longmapsto L = K(\root n \of A)$. Et dans l'autre sens, c'est $L \longmapsto A = L^{*n} \cap K$. De plus, $\Gamma$ et $G = \Gal(L/K)$ sont isomorphes mais pas de manière canonique. Ils sont duaux l'un de l'autre :
$$
G \times \Gamma \to \UU_n, \qquad (\sigma, [a]) \mapsto \sigma(\alpha)/\alpha \qquad \hbox {avec } \alpha^n = a
$$
Si j'en ai parlé (de la théorie de Kummer), c'est qu'il y a une section consacrée à cela dans Cohen-Stevenhagen http://www.math.leidenuniv.nl/~psh/ANTproc/15cohenpsh.pdf. J'attache un exercice corrigé écrit (il y a longtemps) pour des petit(e)s dans le cas $n$-cyclique. Je ne sais pas ce que cela vaut, fort possible que je n'écrirai plus les choses ainsi.
Que peut-on dire d'intelligent pour $X^4 - a$ i.e. $n = 4$, $K = \Q(i)$ entre Kummer et Class Field ? Je n'en sais rien. En tout cas, comme $\Z[i\rbrack$ est principal, si je note $\PP$ un système de représentants d'irréductibles de $\Z[i\rbrack$, la factorisation en produit d'irréductibles donne :
$$
K^* = \UU_4 \times \Z^{(\PP)} \quad \hbox {donc} \quad K^*/K^{*4} = (\Z/4\Z)^{(\PP)} = C_4^{(\PP)}
$$
Autre chose : je pense qu'il ne faut pas hésiter à revenir en arrière. Ainsi, ton exemple_S3.pdf a été abandonné et je trouve que c'est dommage. Mais dans l'état actuel de la rédaction, je n'arrive pas à le relire facilement car un certain nombre d'objets ne sont pas précisés (définis).
Je dis cela ``revenir en arrière'' car j'ai vu un truc de fumette avec le réseau $E_8$, la série d'Eisenstein $E_4$, les nombres de Bernoulli ...etc.. mais on peut pas toujours être en train de courir après la fumette. -
Claude,
Le problème c'est que j'ai 50 textes d'exemples, mais c'est toujours des brouillons. Le truc rigolo, c'est que ce $n$-ième partage en vrille a commencé avec $S_3$ et ton cube ! Je viens de faire quelques exemples, vu que l'on connait le conducteur, enfin je ne comprends pas comment on le trouve le conducteur !
En fait, c'est beaucoup beaucoup plus facile maintenant, tu as bien fait de me reparler de "exempleS3" j'avais oublié :-D -
$\def\Disc{\text{Disc}}\def\calO{\mathcal O}$@moduloP
Est ce que tu disposes de l'ouvrage A First Course in Modular Forms de Diamond & Shurman ? Si oui, est ce que tu comprends la section 4.11, pages 154 $\rightarrow$ ? Moi, pour l'instant, non.
Pour ma reprise, un petit truc facile concernant $X^4 - a$. Je note $K = \Q(i)$.
1. Pour $a \in \Z$, on a l'équivalence : $X^4 - a$ est irréductible sur $K$ si et seulement si $a$ et $-a$ ne sont pas des carrés dans $\Z$.
2. Dans ce cas, en notant $x$ une racine de $X^4 - a$ et $L = \Q(i,x)$ le corps de décomposition de $X^4 - a$ sur $\Q$, $L/K$ est 4-cyclique et $L/\Q$ est galoisienne de groupe de Galois $G = \langle r, s\rangle \simeq D_4$ où :
$$
r : \left| \begin {array}{l} x \to ix\\ i \mapsto i \end {array}\right. = \text{4-cycle } (x,ix,-x,-ix)
\qquad\qquad
s : \left| \begin {array}{l} x \to x\\ i \mapsto -i \end {array}\right. = \text{transposition } (ix, -ix)
$$
Un diagramme dans lequel $y = (1+i)x$ est racine de $Y^4 + 4a$ (les deux polynômes $X^4 -a$ et $Y^4 + 4a$ ont même corps de décomposition sur $\Q$)
$$
\xymatrix {
&&L\ar@{-}[ld]_s\ar@{-}@/_20pt/[ddll]_{\langle r^2,s\rangle}
\ar@{-}[rd]^{rs}\ar@{-}@/^20pt/[ddrr]^{\langle r^2,rs\rangle}
\ar@{-}[dd]^{r} \\
&\Q(x)\ar@{-}[dl]_2 && \Q(y)\ar@{-}[dr]^2 \\
\Q(\sqrt a) \ar@{-}[drr]_2 && \Q(i)\ar@{-}[d]^2 && \Q(i\sqrt a)\ar@{-}[dll]^2 \\
&&\Q\\
}
$$
3. Comme d'habitude (c'est lassant), on cherche un discriminant quadratique $D = f^2 \times (-4)$ tel que $L \subset K^{(D)}$ (ring class field). La réponse est :
$$
D = -{|\Disc(\calO_{\Q(x)})| \over |\Disc(\calO_{\Q(\sqrt a)})|} = -{|\Disc(\calO_{\Q(y)})| \over |\Disc(\calO_{\Q(i\sqrt a)})|}
$$
It's all. -
Coucou Claude,
Pour le livre de Diamond et Shurman, j'ai juste regardé un peu le chapitre 1 et feuilleté un peu le livre pour voir de quoi ils parlent.
Hum, comment tu fais pour trouver les conducteurs :-D -
$\def\calO_{\mathcal O}\def\Gal{\text{Gal}}\def\Perm{\text{Perm}}\def\Cond{\text{Cond}}\def\Disc{\text{Disc}}$@moduloP
Je pose $E = \Q(x)$ et je note $\rho_E$ la représentation permutationnelle de $G = \Gal(L/\Q)$ attachée à $E$. Groupistement parlant, comme $E = L^s$, $\rho_E$ n'est autre que la représentation $\Perm(G/\langle s\rangle)$.
On décompose $\rho_E$ en représentations irréductibles : $\rho_E = \varepsilon \oplus \rho_1 \oplus \rho_2$. Ici, $\rho_2$ est l'unique représentation irréductible de dimension 2 de $G \simeq D_4$ et $\rho_1$ est celle de dimension 1 définie par $\ker \rho_1 = \langle r^2, s\rangle$.
Je donne un coup de conducteur :
$$
\Cond(\rho_E) = \Cond(\varepsilon) \times \Cond(\rho_1) \times \Cond(\rho_2) \qquad \text{c.a.d} \qquad
|\Disc(\calO_E)| = 1 \times |\Disc(\calO_{\Q(\sqrt a)})| \times \Cond(\rho_2)
$$
Au milieu, pour $\rho_1$, c'est parce que $L^{\ker\rho_1} = \Q(\sqrt a)$.
On en tire $\Cond(\rho_2)$. Qui est en valeur absolue le $D$ que je cherche i.e. le $D$ de $L \subset K^{(D)}$. Pourquoi ? C'est dans la PREUVE du théorème 15 de Kani in http://www.mast.queensu.ca/~kani/papers/thetaCM2r.pdf. Je dis bien dans la preuve (je ne sais pas si on voit cela dans l'énoncé). -
Fichtre, beh je vais pouvoir prendre de grande vacance là !!! Je prends un polynôme de groupe $D_5$
$$
x^5+(s-3)x^4+(u-s+3)x^3+(s^2-s-2*u-1)x^2+ux+s
$$F = lambda s,u : x^5+(s-3)*x^4+(u-s+3)*x^3+(s^2-s-2*u-1)*x^2+u*x+s
Et je prend $F(1,2)$. Le discriminant du corps engendré par une racine de $F(1,2)$ est $239^2$. Et en décomposant, la représentation de permutation, on obtient :
$$
\text{Disc} (\mathcal{O}_E) = 1 \times \text{cond}(\rho_1) \times \text{cond}(\rho_2)
$$
Et ici, on en déduit que le conducteur est $239$ ... pas le choix $-239 = -239 \times 1^2$.sage: Bin = Binary_quadratic_Group(-239,1) sage: CHI = [Bin.Chi(z) for z in Bin.Binary_form] sage: [Bin.chi_gens(chi) for chi in CHI] [[[2*x^2 + x*y + 30*y^2, 1]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(15)^14]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(15)]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(5)^2]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(5)^3]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(15)^13]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(15)^2]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(15)^11]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(15)^4]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(15)^8]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(3)]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(3)^2]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(15)^7]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(5)]], [[2*x^2 + x*y + 30*y^2, E(5)^4]]] sage: chi1 = CHI[3] sage: chi2 = CHI[14] sage: f = Bin.Theta_Series(chi1,500) sage: g = Bin.Theta_Series(chi2,500) sage: f = q_series(f.list(),2) sage: g = q_series(g.list(),2) sage: z = Zeta(CyclotomicField(1),500) sage: K Number Field in w with defining polynomial x^5 - 2*x^4 + 4*x^3 - 5*x^2 + 2*x + 1 sage: Zk = Zeta(K,500) sage: grall = z+f+g sage: grall-Zk O(q^0)
-
$\def\Perm{\text{Perm}}$@moduloP
Un truc bizarre.
1) $1 + 1 + 2$, cela fait 4 et pas 5.
2) Rappel. Soit $n$ IMPAIR, $G$ un groupe diédral $D_n$. Je note $H$ l'unique sous-groupe cyclique d'ordre $n$. Les éléments de $G \setminus H$ sont deux à deux conjugués d'où une seule représentation $\Perm(G/\langle x\rangle)$ pour $x \in G \setminus H$. Je note $\rho_n$ cette représentation permutationnelle de degré $n$.
En posant $d = (n-1)/2$, il y a $d$ représentations irréductibles $\rho_{2,i}$ de degré 2 (et 2 de degré 1 : $2 \times 1^2 + d \times 2^2 = 2n$, le compte est bon). La décomposition de $\rho_n$ est
$$
\rho_n = \varepsilon \oplus \rho_{2,1} \oplus \cdots \oplus \rho_{2,d} \qquad\qquad
\hbox {en particulier} \qquad \rho_5 = \varepsilon \oplus \rho_{2,1} \oplus \rho_{2,2}
$$
De plus, si on restreint au groupe $n$-cyclique $H$
$$
{\rho_{2,i}}_{|H} = \rho'_{1,i} \oplus \rho''_{1,i} \qquad \hbox {$\rho'_{1,i}$ et $\rho''_{1,i}$ sont des caractères sur $H$ inverses l'un de l'autre}
$$
Et $\rho_{2,i}$ est induit à $G$ de $\rho'_{1,i}$ (ou $\rho''_{1,i}$). -
C'est $1+2+2 = 5$ :-D
Je n'ai vraiment pas détaillé mais $\rho_1$ et $\rho_2$ c'est le deux représentations de dimension $2$ que tu donnes ! Les indices ce n'est pas la dimension :-D -
Claude, tu es un génie !
Je prend une extension $4$ -cyclique par exemple, celle engendrée par une racine $x$ de $F= x^4 + 208x^2 + 416$.
On a une décomposition de la représentation de permutation $ 1 \oplus \rho_2 \oplus \rho_4 \oplus \overline{\rho}_4$. Et donc le conducteur de $\rho_4$ est $$ \sqrt{ \frac{\text{Disc}(\mathcal{O}_E)}{\text{Disc}(\mathcal{O}_G)}} = \text{Cond}(\rho_4)^2$$
Avec $G = x^2+208x+416$ ...
On trouve $\text{cond}(\rho_4) = 208$;
Je ne sais pas a quelle point ça fonctionne mais ça a l'air du bien marché ton histoire (:D -
@lmoduloP
Génie ? Bigre !!
Ce que j'en pense : nous avons besoin de repos. D'abord $F(X) = X^4 + 208 X^2 + 16$ i.e. bicarré $X^4 + aX^2 + b$ avec $b$ carré, a tendance à avoir un groupe de Galois $\simeq C_2 \times C_2$, Jensen, Ledet, Yui, corollary 2.2.4 page 32 in http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf. Absolument pas 4-cyclique.
1. D'abord, je simplifie ton polynôme $F$ en $X^4 + 52X^2 + 1$ car $208 = 4 \times 52$ donc :
$$
F(2X) = 16X^4 + 16 \times 52 X^2 + 16 = 16(X^4 + 52X^2 + 1)
$$
2. Je justifie le $\simeq C_2 \times C_2$ dans le cas $b=1$ i.e. $F(X) = X^4 + aX^2 + 1$. Si $x$ est une racine de $F$ :
$$
y := x(x^2 + a+1) \text { vérifie } y^2 = -(a+2)
\qquad\qquad
z := x(x^2 + a-1) \text { vérifie } z^2 = -(a-2) \qquad\qquad(\star)
$$
Si $K$ est le corps de base supposé de caractéristique $\ne 2$, le corps $K(x)$, $x$ racine de $F$, contient les 3 extensions $K(\sqrt {-(a+2)})$, $K(\sqrt {-(a-2)})$ et $K(\sqrt {a^2 -4})$. Note : $a^2 -4$ est le discriminant de $Y^2 + aY + 1$ ...etc...
Note : $(\star)$ peut se vérifier (par exemple pour $z$) en remarquant que $x^2 (x^2 + a) = -1$ et
$$
(X^2 + a-1)^2 = X^4 + aX^2 + 1 + (X^2 + a)(a-2)
$$
ce qui donne bien ce qu'il faut modulo $X^4 + aX^2 + 1 = 0$.
3. Si on revient à l'arithmétique de $F(X) = X^4 + 52X^2 + 1$, en notant $x$ une racine de $F$ et $L = \Q(x)$ le corps de décomposition de $F$, on a la décomposition de la représentation permutationnelle de degré 4 comme somme des 4 caractères de $\text{Gal}(L/\Q) \simeq C_2 \times C_2$ :
$$
\rho_L = \varepsilon \oplus \rho_{1,1} \oplus \rho_{1,2} \oplus \rho_{1,3} \qquad\qquad
\text {conducteurs : } \qquad 1, \qquad 8,\qquad 12, \qquad 24
$$
En accord d'une part avec le fait que le discriminant de $L$ est $2304 = 8 \times 12 \times 24$ et d'autre part (ici $a = 52$) :
$$
-(52-2) = -50 = 5^2 \times (-2) \to \Q(\sqrt {-2}) \text { de disc. } -8,
\qquad\qquad
-(52+2) = -54 = 3^2 \times (-6) \to \Q(\sqrt {-6}) \text { de disc. } -24
$$
et bien sûr, l'extension quadratique produit $\Q(\sqrt {12})$ de discriminant 12. -
$\def\Gal{\text{Gal}}\def\Disc{\text{Disc}}\def\calO{\mathcal O}\def\Ind{\text{Ind}}\def\Cl{\text{Cl}}$@moduloP
Je reviens sur ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1641672,1666360#msg-1666360 autour de l'arithmétique du groupe de Galois $D_5$. J'en change un tout petit peu les notations en notant $F_{s,t}$ le polynôme générique de Brummer pour $D_5$ :
$$
F_{s,t}(X) = X^5 + (t-3)X^4 + (s-t+3)X^3 + (t^2-t-2s-1)X^2 + sX + t
$$
Ceci pour être en accord avec Jensen, Ledet, Yui in http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf, pages 44-45-46 ($u$ est utilisé pour autre chose chez eux). Tu as spécialisé en $(s,t) = (2,1)$ conduisant au discriminant (premier donc fondamental) négatif $D = -239$. Cette spécialisation est tellement particulière que beaucoup de choses sont masquées : le signe du discriminant (cf la suite), le fait qu'il soit fondamental et enfin le fait que $\Cl(D)$ soit 15-cyclique.
Ce polynôme $F_{s,t}$ a pour groupe de Galois $D_5$ et comme $D_5 \subset A_5$, son discriminant est un carré. Très exactement :
$$
\Disc(F_{s,t}) = (t\Delta_{s,t})^2
$$
où $\Delta_{s,t}$ joue un rôle fondamental car $\sqrt {\Delta_{s,t}}$ est dans le corps de décomposition de $F_{s,t}$ (haut de la page 46). Pour éviter les erreurs de recopie :
Delta := -(4*t^5 - 4*t^4 - 24*s*t^3 - 40*t^3 -s^2*t^2 + 34*s*t^2 + 91*t^2 + 30*s^2*t + 14*s*t -4*t -s^2 + 4*s^3) ;
Le facteur $t$ dans le discriminant de $F_{s,t}$ semble être un facteur de garbage (avec $t=1$, on ne voit pas la misère).
Il faut faire attention au signe de $\Delta_{s,t}$, que nous on veut $< 0$, afin de disposer d'une extension quadratique imaginaire dans le corps de décomposition de $F_{s,t}$.
Comme bonne propriété arithmétique, on a par exemple :
$$
\Delta_{s,t} \equiv (st + s+t)^2 \bmod 4
$$
En particulier $\Delta_{s,t}$ est un carré modulo 4 : c'est presque un discriminant quadratique (mais attention cela peut être un carré).
Je suppose dans la suite que $(s,t) \in \Z\times\Z$ est une bonne spécialisation i.e. $F_{s,t} \in \Z[X]$ est irréductible de groupe de Galois $D_5$. Je note $E = \Q(x)$ où $x$ est une racine de $F_{s,t}$ et $L = E^{\rm gal.}$ le corps de décomposition de $F_{s,t}$ sur $\Q$. Comme $D_5 \subset A_5$ (bis), $\Disc(\calO_E)$ est un carré. Je pose
$$
D = \text{Signe}(\Delta_{s,t}) \times \sqrt {\Disc(\calO_E)}
$$
Si $D < 0$, c'est le discriminant quadratique $D$ que l'on cherche. I.e. en posant $K = \Q(\sqrt D) \subset L$, l'extension 5-cyclique $L/K$ est contenue dans le Ring Class Field $K^{(D)}$. Ceci provient de la décomposition de la représentation permutationnelle $\rho_5$ de $D_5$ :
$$
\rho_5 = \varepsilon \oplus \rho_{2,1} \oplus \rho_{2,2} \qquad\qquad
\chi(\rho_5) = \chi_{\rm unit} \oplus \Ind^{D_5}_{C_5}(\chi) \oplus \Ind^{D_5}_{C_5}(\chi^2) \qquad\qquad (\star)
$$
Ci-dessus à droite, les 4 caractères non triviaux du groupe cyclique $C_5$ sont $(\chi, \chi^{-1})$ et $(\chi^2, \chi^{-2})$.
Un coup de conducteur sur $(\star)$ conduit à la chose souhaitée SAUF qu'il faut ensuite s'occuper des signes (les conducteurs sont des entiers $\ge 1$).
Voici une petite table pour $-5 \le s,t \le 5$. J'ai fait afficher $s,t,D$.
s,t:-5,-5 31505 s,t:-5,-4 15133 s,t:-5,-3 6945 s,t:-5,-1 1393 s,t:-5,1 -127 s,t:-5,2 -1115 s,t:-5,3 -375|3 s,t:-5,4 -8707 s,t:-5,5 -20255 s,t:-4,-5 25897 s,t:-4,-4 2908|2 s,t:-4,-3 4889 s,t:-4,-2 1996 s,t:-4,-1 817 s,t:-4,1 -143 s,t:-4,2 -836 s,t:-4,3 -2599 s,t:-4,4 -443|4 s,t:-4,5 -143|11 s,t:-3,-5 20737 s,t:-3,-4 8501 s,t:-3,-3 3129 s,t:-3,-2 1093 s,t:-3,-1 401 s,t:-3,1 -119 s,t:-3,2 -571 s,t:-3,3 -1887 s,t:-3,4 -5579 s,t:-3,5 -14503 s,t:-2,-5 16001 s,t:-2,-4 1429|2 s,t:-2,-3 1641 s,t:-2,1 -79 s,t:-2,2 -344 s,t:-2,3 -1263 s,t:-2,4 -1051|2 s,t:-2,5 -11879 s,t:-1,-5 11665 s,t:-1,-4 3253 s,t:-1,-3 401 s,t:-1,-2 -131 s,t:-1,-1 -47 s,t:-1,1 -47 s,t:-1,2 -179 s,t:-1,3 -751 s,t:-1,4 -2987 s,t:-1,5 -9455 s,t: 0,-5 7705 s,t: 0,-3 -615 s,t: 0,-2 -500 s,t: 0,-1 -127 s,t: 0,1 -47 s,t: 0,3 -375 s,t: 0,4 -488|2 s,t: 0,5 -7255 s,t: 1,-5 4097 s,t: 1,-4 -803 s,t: 1,-3 -159|3 s,t: 1,-2 -739 s,t: 1,-1 -143 s,t: 1,1 -103 s,t: 1,2 -131 s,t: 1,3 -159 s,t: 1,4 -1123 s,t: 1,5 -5303 s,t: 2,-5 817 s,t: 2,-4 -611|2 s,t: 2,-3 -2071 s,t: 2,-2 -872 s,t: 2,-1 -119 [color=#FF0000]s,t: 2,1 -239 [/color] s,t: 2,2 -296 s,t: 2,3 -127 s,t: 2,4 -131|2 s,t: 2,5 -3623 s,t: 3,-5 -2159 s,t: 3,-4 -3859 s,t: 3,-3 -2559 s,t: 3,-2 -923 s,t: 3,-1 -79 s,t: 3,1 -479 s,t: 3,2 -619 s,t: 3,3 -303 s,t: 3,4 -179 s,t: 3,5 -2239 s,t: 4,-5 -4855 s,t: 4,-4 -1268|2 s,t: 4,-3 -2919 s,t: 4,-2 -916 s,t: 4,-1 -47 s,t: 4,1 -847 s,t: 4,2 -1124 s,t: 4,3 -79|3 s,t: 4,5 -47|5 s,t: 5,-5 -7295 s,t: 5,-4 -6107 s,t: 5,-3 -127|5 s,t: 5,-2 -875 s,t: 5,-1 -47 s,t: 5,1 -1367 s,t: 5,2 -1835 s,t: 5,3 -1375 s,t: 5,4 -347 s,t: 5,5 -455 Time: 0.230
Note : j'ai remarqué que $\Delta_{s,t} = q^2 \times D$ avec souvent $q = 1$. Quand $q \ne 1$, je l'indique : par exemple pour $(s,t) = (-5,3)$, -375|3 signifie que $\Delta_{s,t} = 3^2 \times (-375)$. C'est surtout pour moi. -
$\def\calM{\mathcal M}\def\P{\mathbb P}\def\PGL{\text{PGL}}$@moduloP
A propos du polynôme générique de Brumer pour $D_5$ vu dans http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf. J'ai été vachement surpris quand les auteurs page 44 font agir $D_5$ sur un corps de fractions rationnelles $K(u,v)$ ($K$ corps quelconque) en posant froidement :
$$
\sigma : \left| \begin {array}{l} u \mapsto v\\ v \mapsto (1-v)/u \end {array}\right.
\qquad
\tau : \left| \begin {array}{l} u \mapsto v\\ v \mapsto u \end {array}\right.
\qquad\qquad
\hbox {It is easy to see that $\sigma^5 = \tau^2 = 1$ and $\tau\sigma = \sigma^4\tau$}
$$
Je me suis demandé d'où cela sortait. Et j'ai fini par trouver la réponse in https://projecteuclid.org/euclid.pja/1116443730. Je t'en touche deux mots car je trouve cela très joli (et concret)
C'est tout le groupe symétrique $S_5$ qui agit à droite sur $\calM_{0,5}$, espace de module des classes d'isomorphisme de 5 points ordonnés de $\P^1$ :
$$
\calM_{0,5} = {(\P^1)^5 \setminus \Delta \over \PGL_2}
$$
Au numérateur, il s'agit des $(p_1, p_2, \cdots, p_5)$ avec $p_i \in \P^1$, deux à deux distincts et l'action de $\PGL_2$ est ``diagonale''. Cet espace est de dimension 2 car il y a une (seule) homographie qui réalise :
$$
(p_1, p_2, \cdots, p_5) \quad \buildrel {\PGL_2} \over \sim \quad (\infty, 0, 1, p,q)
$$
Le corps des fonctions $K(\calM_{0,5})$ est un corps de fonctions rationnelles $K(x,y)$ à 2 indéterminées d'où une action à gauche de $S_5$ sur $K(x,y)$, a fortiori de $D_5$.
Concrètement (ici, je ne suis pas tout à fait les auteurs Hashimoto & Tsunogai car je n'ai pas choisi la même normalisation), je vais travailler avec des coordonnées affines $(x_1, x_2, \cdots, x_5)$ et utiliser l'homographie qui réalise $(x_1, x_2, x_3) \mapsto (\infty, 0, 1)$ dans laquelle $\bullet$ est le joker pour la variable :
$$
{\bullet - x_2 \over \bullet - x_1} \times {x_3 - x_1 \over x_3 - x_2} \quad
\left| \begin {array}{l} x_1 \mapsto \infty\\ x_2 \mapsto 0 \\ x_3 \mapsto 1 \end {array}\right.
$$
On a donc $(x_1, x_2, \cdots, x_5) \sim (\infty, 0, 1, x,y)$ de manière effective en remplaçant $\bullet$ par $x_4$ pour obtenir $x$ et $\bullet$ par $x_5$ pour obtenir $y$. Dans la suite, je m'aligne sur $\fbox {$(\infty, 0, 1, x, y)$}$. On n'a plus qu'à faire agir $\sigma \in S_5$ par permutation des coordonnée et renormaliser le binz obtenu par permutation en $(\infty, 0, 1, x', y')$ : l'automorphisme induit par $\sigma$ sera $x \mapsto x'$ et $y \mapsto y'$.
Je traite juste un petit exemple pour le 5-cycle standard de $S_5$. Je fais tourner $(\infty, 0, 1, x, y)$ dans un sens par exemple $(0, 1, x, y, \infty)$ et je renormalise via l'homographie :
$$
{\bullet - x_2 \over \bullet - x_1} \times {x_3 - x_1 \over x_3 - x_2}
\qquad \hbox {avec $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = x$ c.a.d.} \qquad
h(\bullet) = {\bullet - 1 \over \bullet - 0} \times {x - 0 \over x - 1} = {x \times (\bullet - 1) \over (x-1) \times \bullet}
$$
Et cette homographie, je dois l'appliquer aux deux dernières composantes du 5-uplet $(0, 1, x, y, \infty)$ qui a tourné i.e. en $y$ puis $\infty$. Et on trouve l'automorphisme
$$
x \longmapsto h(y) = {x(y-1) \over y(x-1)}, \qquad
y \longmapsto h(\infty) = {x \over x-1}
$$
J'ai automatisé la chose via de l'échelonnement de matrices $2 \times 5$ (coordonnées projectives debout) et je dois travailler encore pour trouver un bon jeu de coordonnées qui conduisent pour $D_5$ aux formules de Jensen, Ledet, Yui.
It's all. -
@moduloP
J'ai bien compris que tu étais en vacances. En conséquence, je ne prends pas d'avance. Alors que je pourrais regarder par exemple des histoires de corps de nombres non isomorphes qui ont la même fonction $\zeta$ : si $E, E'$ ont la même fonction zeta, alors $E,E'$ ont beaucoup de choses en commun : le même degré sur $\Q$, le même discriminant, la même signature $(r_1, r_2)$, la même fermeture galoisienne. Mais pas nécessairement le même groupe de classes d'idéaux. Non, non, je ne joue pas avec cela, promis, juré.
Je te montre juste ici comment réaliser l'action de $S_5$ dans $\text{Aut}(\Q(x,y))$, liée à l'espace de modules $\mathcal M_{0,5}$ (cf post précédent) via de l'échelonnement. Ci-dessous, $x,y$ sont deux indéterminées sur $\Q$.
J'installe les 5 points projectifs $\infty, 0, 1, x, y$ dans une matrice $2 \times 5$ notée ici $M$. Tu vas comprendre pourquoi j'ai mis $\infty, 0$ en première position, c'est pour respecter l'ordre de la base canonique :
$$
\infty = {1 \over 0} \leftrightarrow \left[ \matrix {1\cr0}\right]
\qquad
0 = {0 \over 1} \leftrightarrow \left[ \matrix {0\cr 1}\right]
$$
> // oo=1/0 0=0/1 1=1/1 x/1 y/1 > M := Transpose(Matrix([[1,0], [0,1], [1,1], [x,1], [y,1]])) ; > M ; [1 0 1 x y] [0 1 1 1 1]
Soit maintenant $\tau \in S_5$ une permutation quelconque. Rappel : $M : K^5 \to K^2$. Je réalise $M P_\tau$ où $P_\tau$ est la matrice de la permutation $\tau$. Je passe sous silence les petits soucis de gauche et droite. Je dis juste que $({P_{\tau^{-1}}})_{\rm magma} = ({P_\tau})_{\rm nous\ autres}$.
> tau := S5 ! (1,3)(2,4) ; > tauM := M * PermutationMatrix(Qxy, tau^-1) ; > tauM ; [1 x 1 0 y] [1 1 0 1 1]
J'échelonne cette dernière matrice (multiplication à gauche par une matrice inversible $2 \times 2$, une homographie quoi).
> N := EchelonForm(tauM) ; > N ; [1 0 -1/(x - 1) x/(x - 1) (x - y)/(x - 1)] [0 1 1/(x - 1) -1/(x - 1) (y - 1)/(x - 1)] > // N a la forme > // 1 0 t * * > // 0 1 u * * > // Il faut réaliser (oo, 0, t/u) ---> (oo, 0, 1) > // C'est la multiplication par u/t qui s'en charge
Et je finalise la chose comme racontée ci-dessus.
> t := N[1,3] ; u := N[2,3] ; > xprime := u/t * N[1,4]/N[2,4] ; > xprime ; x > yprime := u/t * N[1,5]/N[2,5] ; > yprime ; (-x + y)/(y - 1) > h := iso < Qxy -> Qxy | xprime, yprime > ;
Et voici mon automorphisme $h$ de $\Q(x,y)$ associé à $\tau$, qui réalise $x \mapsto x'$, $y \mapsto y'$.
Tu vois bien que je ne prends pas d'avance. -
Claude,
Je suis en vacance mais je regarde quand même, mais il faut dire que j'essayes d'écrire au propre deux ou trois trucs, j'ai un peu trop de retard, aujourd'hui c'est l'inflation en essayant de regarder proprement la ramification, je pense que c'est bon mais ce n'était pas aussi simple que ça. Par contre, ça risque d'être un peu plus compliqué pour l'induction ! Je pense que les pros utilisent des techniques de topologie de Krull pour se faciliter la vie, bon je sens que ça va me casser les pieds d'apprendre la topologie de Krull et je vais faire sans !
Sinon, pour les corps avec même fonction zeta, j'avais vu une vidéo de Pierre Cartier qui en parlait un peu (un peu = il a juste dit que ça existe). -
@moduloP
Bon, je corrige mon mensonge. J'ai un peu regardé cette histoire de même fonction $\zeta$ (auxquels cas, on dit que les corps sont arithmétiquement équivalents). J'ai regardé cela car j'avais besoin de me reposer, de ne pas faire débarquer des objets nouveaux. Car en fait, il n'y a absolument rien de compliqué à faire des petites choses élémentaires et vivantes là-dessus. Loin de la fumette modulaire et tout le truc. C'est un véritable régal et cela permet de STABILISER des choses. Au menu : surtout des histoires d'actions de groupes.
Je te montrerais cela plus tard. J'ai commencé à jouer avec $a \in \Z$ tel que $|a|$ et $2|a|$ soient non carrés et
$$
E_1 = \Q(\root 8 \of a), \qquad E_2 = \Q(\root 8 \of {16a})
$$
Le groupe $\text{AGL}_1(\Z/8\Z)$ s'est invité à table, avec ses actions en degré 8. Pouvais pas refuser. Un pur régal (bis).
Vous avez dit ``Topologie de Krull''. Pour les groupes profinis comme le groupe de Galois absolu, je suppose? -
$\def\Gal{\text{Gal}}\def\Aut{\text{Aut}}\def\GL{\text{GL}}\def\Frob{\text{Frob}}\def\Tr{\text{Trace}}$@moduloP
Dans ta retraite, pourrais tu réfléchir au truc qui suit. J'aimerais bien ``voir'' des exemples (``voir'' en notre sens).
Contexte : $E$ une courbe elliptique rationnelle, $E[n]$ ses points de $n$-torsion. On sait que $E[n] \simeq \Z/n\Z \times \Z/n\Z$ (non canoniquement) donc $\Aut(E[n]) \simeq \GL_2(\Z/n\Z)$. On une action de $\Gal(\overline {\Q}/\Q)$ sur $E[n]$ d'où une représentation galoisienne :
$$
\rho_{E,n} : \Gal(\overline {\Q}/\Q) \to \Aut(E[n]) \simeq \GL_2(\Z/n\Z)
$$
Aurais tu des exemples A VOIR (bis) ?
Bien sûr, on peut redescendre sur terre en posant :
$$
K_n = \overline {\Q}^{\ker \rho_{E,n}} \qquad \hbox {et en fait} \qquad
K_n = \Q(E[n])
$$
A droite, il s'agit de l'extesion de $\Q$ engendré par les coordonnées (les deux) des points de $n$-torsion de $E$.
Tu te doutes que $K_n/\Q$ est non ramifiée en dehors des $p$ qui divisent $n$ et le conducteur $N$ de $E$. Et figure toi que l'on a pour ces $p$ (donc pour tous les $p$ sauf un nombre fini) :
$$
\Tr(\rho_{E,n}(\Frob_p)) \equiv a_p \bmod n \qquad\qquad (\star)
$$
C'est qui $a_p$ ? Evidemment $\sum_{m \ge 1} a_m q^m$ est le développement en $q$ de la forme modulaire $\in S_2(\Gamma_0(N))$ attachée à $E$.
Tu étais au courant de $(\star)$ ?
Ajout une heure après : puisque dans $(\star)$, on a seulement besoin des $a_p$, inutile de parler de la forme modulaire attachée à $E$. En disant plus simplement que $a_p$ est la trace du Frobenius de $E/\mathbb F_p$ ou encore $a_p = p+1 - \#E(\mathbb F_p)$. Ainsi, $(\star)$ relie les traces des deux Frobenius.
In https://arxiv.org/pdf/math/9503219.pdf, en bas de la page 12, Ribet (respect) parle, à propos de $(\star)$, de ``striking congruence''. Version publiée https://www.ams.org/bull/1995-32-04/S0273-0979-1995-00616-6/S0273-0979-1995-00616-6.pdf -
Coucou Claude,
C'est assez amusant ton dernier message, je dois réfléchir un peu mais il me semble que j'avais écris les matrices.
En fait, quand la courbe possède une multiplication complexe $\phi$, on peut trouver une base de $E[ n]$ plus facilement, on prend un point $P$ de $n$-torsion et on regarde $\phi(P)$ qui est de $n$-torsion et qui n'est pas multiple de $P$. Je pense que l'on peut écrire les matrices facilement avec ça !
Je dois réfléchir mais j'ai un peu la flemme en ce moment, le problème avec les vacances, c'est de sortir des vacances :-D -
@moduloP
Rien à voir. J'ai relu des petites choses chez Ribet. Je vois à la fin (p. 18) de son papier https://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/icfs.pdf
Finally, several accounts of the details of the proof of Fermat’s Last Theorem have been written for professional mathematicians [7], [18], [6]. What is missing from the literature, at least so far, is an extended account of the proof that is accessible to a scientifically literate lay reader and does justice to the mathematics behind the proof.
Un truc amusant pages 15-16. Soit $p \equiv 3 \bmod 4$ un nombre premier et $h$ le nombre de classes d'idéaux de $\Q(\sqrt {-p})$ (attention à ce $-p$ versus $p$). On pose $$
S_+ = \hbox {la somme des $x \in \{1..p-1\}$ tels que $x$ soit carré modulo $p$}
$$
Idem avec $S_-$ en remplaçant carré par non carré. On a alors les égalités suivantes de nombres entiers
$$
{S_- \over p} = {p-1+2h \over 4}, \qquad\qquad
{S_+ \over p} = {p-1-2h \over 4}, \qquad\qquad
{S_- - S_+ \over p} = h
$$
Je sais démontrer l'égalité de droite par soustraction des deux égalités de gauche (j'omets les détails).
> P := [p : p in PrimesInInterval(3,10^2) | p mod 4 eq 3] ; > p := Random(P) ; > p ; 59 > Splus := &+[x : x in [1..p-1] | LegendreSymbol(x,p) eq +1] ; > Smoins := &+[x : x in [1..p-1] | LegendreSymbol(x,p) eq -1] ; > h := ClassNumber(-p) ; > h ; 3 > Smoins / p ; 16 > (p-1 + 2*h) / 4 ; 16 > Splus / p ; 13 > (p-1 - 2*h) / 4 ; 13 > // Je verifie mon calcul > (Smoins - Splus)/p ; 3
-
Hello Claude,
Je reviens sur le truc amusant. Je ne comprends pas du tout ce que je fais !
Alors pour voir un peu la chose, je suis parti de la courbe elliptique $E$ d'équation : $ y^2 = x^3 - x^2 - 3x - 1$. Elle possède une multiplication complexe par $\Z[ \sqrt{-2}]$. Je pends $n = 3$ et je regarde le corps $L$ engendré par les coordonnées des points de $3$-torsions.sage: k Number Field in y with defining polynomial x^8 + 8*x^7 - 20*x^6 - 424*x^5 - 1098*x^4 + 5368*x^3 + 38860*x^2 + 89896*x + 76561
De là, je me suis dit qu'il fallait une représentation de degré $2$. Le truc, c'est que $L \mid \Q$ est diédrale et donc je vais utiliser les résultats des extensions diédrales.
Donc, je vais prendre un sous-corps $E$ de $L$ de degré $4$ et j'ai choisit :sage: grall Number Field in y6 with defining polynomial x^4 + 8*x^3 - 88*x^2 - 1184*x - 3440
Là on sait que la fonction zéta de Dedekind de $E$ contient une fonction $\mathcal L$ de degré $2$ intéressante, disons associé à une représentation de degré $2$ qu'on note $\rho_2$. Mais il nous faut d'abord trouver la sous extension quadratique de $E$. Je trouve que c'est celle de discriminant $24$ i.e $x^2-6$. On écrit l'équation discriminant conducteur :
$$
\text{Disc}(\mathcal{O}_E) = 1 \times 24 \times \text{Cond}(\rho_2)
$$
Je trouve : $\text{Cond}(\rho_2) = -3 \times 16^2$. Remarque : c'est louche car au départ on jouait plutôt avec $\Q(\sqrt{-2})$ et là on se retrouve a faire mumuse avec $\Q(j)$.sage: Bin = Binary_quadratic_Group(-3,16) sage: Bin.order_gens [4, 2] sage: Bin.GENS [7*x^2 + 4*x*y + 28*y^2, 12*x^2 + 12*x*y + 19*y^2] sage: Bin.chi_gens(chi) <----- Je prends ce caractère là [[7*x^2 + 4*x*y + 28*y^2, -E(4)], [12*x^2 + 12*x*y + 19*y^2, 1]]
Je donne la série $\theta$ associée :sage: f q - q^3 + q^9 + 2*q^19 + q^25 - q^27 + 2*q^43 - q^49 - 2*q^57 - 2*q^67 - 2*q^73 - q^75 + q^81 - 2*q^97 + q^121 - 2*q^129 - 2*q^139 + q^147 + 2*q^163 - q^169 + 2*q^171 + 2*q^193 + 2*q^201 - 2*q^211 + 2*q^219 + q^225 + 2*q^241 - q^243 - 2*q^283 + q^289 + 2*q^291 - 2*q^307 + 2*q^313 - 2*q^331 - 2*q^337 + 3*q^361 - q^363 + 2*q^379 + 2*q^387 - 2*q^409 + 2*q^417 - 2*q^433 - q^441 - 2*q^457 + 2*q^475 - 2*q^489 - 2*q^499 + O(q^500)
Et la je fabrique la série de $E$.q + 2*q^3 + q^9 + 6*q^11 - 6*q^17 + 2*q^19 - 5*q^25 - 4*q^27 + 12*q^33 + 6*q^41 - 10*q^43 - 7*q^49 - 12*q^51 + 4*q^57 + 6*q^59 - 14*q^67 - 2*q^73 - 10*q^75 - 11*q^81 + 18*q^83 - 18*q^89 + 10*q^97 + 6*q^99 + 6*q^107 + 18*q^113 + 25*q^121 + 12*q^123 - 20*q^129 + 18*q^131 + 6*q^137 + 22*q^139 - 14*q^147 - 6*q^153 + 2*q^163 - 13*q^169 + 2*q^171 + 12*q^177 + 18*q^179 - 36*q^187 - 22*q^193 - 28*q^201 + 12*q^209 - 14*q^211 - 4*q^219 - 5*q^225 - 30*q^227 + 30*q^233 + 26*q^241 - 10*q^243 + 36*q^249 + 6*q^251 - 30*q^257 - 36*q^267 - 30*q^275 - 18*q^281 + 22*q^283 + 19*q^289 + 20*q^291 - 24*q^297 + 34*q^307 - 10*q^313 + 12*q^321 - 12*q^323 - 26*q^331 - 14*q^337 + 36*q^339 + 6*q^347 - 30*q^353 - 15*q^361 + 50*q^363 + 6*q^369 + 38*q^379 - 10*q^387 + 36*q^393 - 6*q^401 + 22*q^409 + 12*q^411 + 44*q^417 + 18*q^419 + 30*q^425 - 38*q^433 - 7*q^441 - 42*q^443 + 42*q^449 + 36*q^451 - 26*q^457 + 24*q^459 - 30*q^467 - 60*q^473 - 10*q^475 + 4*q^489 - 42*q^491 - 14*q^499 + O(q^501)
Là on voit rien car il faut réduire modulo $3$.sage: g q + 2*q^3 + q^9 + 2*q^19 + q^25 + 2*q^27 + 2*q^43 + 2*q^49 + q^57 + q^67 + q^73 + 2*q^75 + q^81 + q^97 + q^121 + q^129 + q^139 + q^147 + 2*q^163 + 2*q^169 + 2*q^171 + 2*q^193 + 2*q^201 + q^211 + 2*q^219 + q^225 + 2*q^241 + 2*q^243 + q^283 + q^289 + 2*q^291 + q^307 + 2*q^313 + q^331 + q^337 + 2*q^363 + 2*q^379 + 2*q^387 + q^409 + 2*q^417 + q^433 + 2*q^441 + q^457 + 2*q^475 + q^489 + q^499 + O(q^501)
compte tenu du fait que $-1 = 2 \pmod{3}$ on dirai que c'est les mêmes séries ! Je ne comprends rien a ce que j'ai fait :-D -
@moduloP
Vu. Je vais prendre le temps de regarder (pas en 5 minutes !). Depuis quand faut-il comprendre ce que l'on fait ??
Si je comprends bien, tu as pris $n = \ell = 3$ (pour la $n$-torsion, quand $n$ est un nombre premier, c'est obligatoire, c'est la loi, de le noter $\ell$ et surtout pas $p$). Et tu compares la représentation galoisienne $\rho_{E,\ell}$ de $\ell$-torsion et une représentation $\rho_2$ modulo $\ell$, représentation que tu as dégotté à l'intérieur de $K_\ell = \Q(E[\ell])$.
Tu es fou. Reprends des vacances. -
@moduloP
Tiens, ce n'est pas la courbe elliptique que l'on prenait ``habituellement'' (p. 111, prop 2.3.1 de Silverman II).
> E ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x^2 - 3*x - 1 over Rational Field > IsMinimalModel(E) ; true > Conductor(E) ; 256 > HasComplexMultiplication(E) ; true -8 > CremonaReference(E) ; 256d1
Hum, tu as vraiment pris des vacances ?
-
Claude,
Je pense que j'ai pigé d'où vient la congruence modulo $n$. Je fais un truc pas très très sérieux, on verra bien si on peut faire propre, le problème c'est que je marche sur des oeufs avec ces notions.
1/
Soit $E$ une courbe elliptique avec multiplication complexe par un anneau quadratique imaginaire $\mathbb{A}$ de discriminant $\Delta$, je note $w$ un générateur de l'anneau quadratique et je note $\phi$ un endomorphisme "réalisant" $w$. Soit $n$ un entier. Soit $f \in \mathbb{A}$ premier à $n$, alors $f$ induit, par multiplication, un automorphisme de $E[ n]$.
En effet, si $P \in E[ n]$ alors $n \times f(P) = f(nP) = f(0) = 0$. Ensuite, $f$ et $n$ sont co-maximaux, il existe $u$ et $v$ tel que $fu= 1 + vn$. On a donc
$$
fu(P) = 1 \quad \text{sur les points de $n$-torsions}
$$
2/ Maintenant, on va écrire la matrice de $f$ dans la base $(P, \phi(P))$ de $E[ n]$ et on va constater que la trace dans $\mathbb{A}$ de $f$ est exactement la trace de la matrice associée.
Posons $f = a+wb$, alors
$$
f(P) = aP + bw(P) $$
$$f(wP) = (a+bw)*w (P) = (aw+bw^2 )(P) = ( aw+b(\text{Tr}(w)w -N(w)))(P) = -N(w) P + a+b\text{Trace}(w)(P) $$
De sorte, que la trace de la matrice associé à $f$ est exactement :
$$
a + a+b\text{Trace}(w) = \text{Trace}(a+bw)
$$
Donc si on résume la trace de $f$ est exactement la trace de la matrice associée à $f$.
3/ Maintenant, on prend un premier $p$ premier à $n$. Il faut faire attention a cause des deux Frobenius celui de la courbe et celui de l'extension. Soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier de $\mathbb{A}$ au dessus de $p$ (je fais un peu le bourrin avec les anneaux quadratiques vs anneaux d'entiers). et je note $q = N\mathfrak{p}$.
Je note $\text{Frob}_{E,p}$ l'unique élément de $ \sigma \in \mathbb{A}$ tel que la multiplication par $\sigma$ vérifie :
$$
\sigma (x,y) = (x^q,y^q) \pmod{p}
$$
C'est un élément de norme $q$ et sa trace c'est ce que l'on a noté $a_p$.
Je note : $\text{Frob}_p$ le morphisme de Frobenius de $\Q(x,y) \mid \Q$. Je pense qu'un résultat important est que :
$$
(\text{Frob}_p(x),\text{Frob}_p(y)) = \text{Frob}_{E,p}(x,y)
$$
On en déduit que :
$$
\rho_{E,n}(\text{Frob}_p) = \text{Matrix de la multiplication par $\text{Frob}_{E,p}$}
$$
La matrice est écrite dans la base $P=(x,y)$ et $\phi(P)$. En particulier on peut appliquer $1$ et $2$ et obtenir la relation des traces.
Bon c'est pas encore super pour l'instant ! Hum, Claude j'étais en vacance normalement, maintenant je vais devoir réfléchir :-D -
Claude,
Une autre représentation. Par contre, je suis un petit joueur moi, je ne sais pas faire des trucs avec des groupes non diédrales, à la rigueur un produit direct d'un groupe diédrale et d'un groupe cyclique ça va également (avec les magouilles produit tensoriel) mais bon je n'ai pas trouvé comment faire des exemples.sage: E Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 7*x + 10 over Rational Field sage: E.cm_discriminant() -11
Je prend l'extension obtenu en ajoutant les points de $3$-torsions et je fais pareil que dans l'autre exemple.sage: L Number Field in y with defining polynomial x^8 - 108*x^7 + 3684*x^6 - 35910*x^5 + 1621251*x^4 - 128598678*x^3 + 1367243874*x^2 + 40013111430*x + 247130398575 sage: E Number Field in y7 with defining polynomial x^4 - 108*x^3 - 609*x^2 + 131544*x + 6553908
L'extension de degré $2$ incluse dans $l$ est celle de discriminant $3*11$, et (formule conducteur discriminant) donc $L$ est inclusion dans un le Ring class field de modulus $11$ de $\Q(\sqrt{-3})$.sage: Bin = Binary_quadratic_Group(-3,11) sage: CHI = [Bin.Chi(z) for z in Bin.Binary_form] sage: [Bin.chi_gens(chi) for chi in CHI] [[[7*x^2 + x*y + 13*y^2, 1]], [[7*x^2 + x*y + 13*y^2, -1]], [[7*x^2 + x*y + 13*y^2, -E(4)]], [[7*x^2 + x*y + 13*y^2, E(4)]]] sage: chi = CHI[3] sage: f = Bin.Theta_Series(chi,500) sage: f = q_series(f.list(),2) sage: A = E.anlist(500) sage: A = [ a%3 for a in A] sage: g = q_series(A,2) sage: g q + 2*q^3 + q^4 + q^9 + 2*q^12 + q^16 + q^25 + 2*q^27 + q^31 + q^36 + q^37 + 2*q^48 + 2*q^49 + q^64 + q^67 + 2*q^75 + q^81 + 2*q^93 + 2*q^97 + q^100 + 2*q^103 + 2*q^108 + 2*q^111 + q^124 + q^144 + q^147 + q^148 + q^157 + 2*q^163 + 2*q^169 + 2*q^181 + 2*q^192 + 2*q^196 + q^199 + 2*q^201 + 2*q^223 + q^225 + q^229 + 2*q^243 + q^256 + q^268 + q^279 + q^289 + q^291 + 2*q^300 + q^309 + q^313 + q^324 + 2*q^331 + q^333 + 2*q^361 + 2*q^367 + 2*q^372 + 2*q^379 + 2*q^388 + 2*q^397 + q^400 + 2*q^412 + q^421 + 2*q^432 + 2*q^433 + 2*q^441 + 2*q^444 + 2*q^463 + 2*q^471 + q^487 + q^489 + q^496 + q^499 + O(q^501) sage: f q - q^3 + q^4 + q^9 - q^12 + q^16 + q^25 - q^27 - 2*q^31 + q^36 - 2*q^37 - q^48 - q^49 + q^64 - 2*q^67 - q^75 + q^81 + 2*q^93 + 2*q^97 + q^100 + 2*q^103 - q^108 + 2*q^111 - 2*q^124 + q^144 + q^147 - 2*q^148 - 2*q^157 + 2*q^163 - q^169 + 2*q^181 - q^192 - q^196 - 2*q^199 + 2*q^201 + 2*q^223 + q^225 - 2*q^229 - q^243 + q^256 - 2*q^268 - 2*q^279 + q^289 - 2*q^291 - q^300 - 2*q^309 - 2*q^313 + q^324 + 2*q^331 - 2*q^333 - q^361 + 2*q^367 + 2*q^372 + 2*q^379 + 2*q^388 + 2*q^397 + q^400 + 2*q^412 - 2*q^421 - q^432 + 2*q^433 - q^441 + 2*q^444 + 2*q^463 + 2*q^471 - 2*q^487 - 2*q^489 - 2*q^496 - 2*q^499 + O(q^500) sage: f-g -3*q^3 - 3*q^12 - 3*q^27 - 3*q^31 - 3*q^37 - 3*q^48 - 3*q^49 - 3*q^67 - 3*q^75 - 3*q^108 - 3*q^124 - 3*q^148 - 3*q^157 - 3*q^169 - 3*q^192 - 3*q^196 - 3*q^199 - 3*q^229 - 3*q^243 - 3*q^268 - 3*q^279 - 3*q^291 - 3*q^300 - 3*q^309 - 3*q^313 - 3*q^333 - 3*q^361 - 3*q^421 - 3*q^432 - 3*q^441 - 3*q^487 - 3*q^489 - 3*q^496 - 3*q^499 + O(q^500)
J'aime bien les $3$ :-D -
$\def\Disc{\text{Disc}}\def\Gal{\text{Gal}}$@moduloP
Pour l'instant j'ai vérifié ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1641672,1671046#msg-1671046 en obtenant des polynômes plus simples. Je t'explique ce que j'ai fait. Rappel : il s'agit de la courbe elliptique $y^2 = x^3 - x^2 - x -1 = f(x)$ à multiplication complexe par $\Z[\sqrt {-2}]$ et de sa 3-torsion.
J'ai déterminé son polynôme de 3-division de la forme $n X^{n^2 - 1 \over 2} + \cdots$ avec $n=3$ impair :
$$
\Phi_3(X) = F_1F_2 = (X^2 - 2X - 5) (3X^2 + 2X + 1), \qquad \Disc(F_1) = 24, \qquad \Disc(F_2) = -8
$$
J'ai adjoint à $\Q$ une racine $x_1$ de $F_1$ puis une racine carrée $y_1$ de $f(x_1)$. Comme $f(x_1)$ vérifie une équation du second degré, $y_1$ vérifie une équation bicarrée. Très exactement $G(y_1) = 0$ avec
$$
G(X) = X^4 - 16X^2 -32.
$$
J'ai fait une petite beauté à $G$ en remarquant que :
$$
G(2X) = 16 \times (X^4 - 4X^2 - 2)
$$
Bref, j'ai adjoint à $\Q$ une racine $x$ de $X^4 - 4X^2 - 2$. Pareil du côté de $F_2$ avec une racine $x_2$ ..etc.. Je suis tombé sur le polynôme $X^4 - 12X^2 + 486$ dont je note une racine $x'$.
Schéma, en notant $L = \Q(x)^{\rm gal.} = \Q(x')^{\rm gal.}$ avec $L/\Q$ galoisienne de groupe de Galois $D_4$, et une fumette au centre au dessus de $\Q(\sqrt {-3})$
$$
\xymatrix {
&L\ar@{-}[dl]_2 \ar@{-}[dd]_{C_4} \ar@{-}[dr]^2 \\
\Q(x)\ar@{-}[d]_2 && \Q(x') \ar@{-}[d]^2 \\
\Q(\sqrt {6})\ar@{-}[dr]_2 &\Q(\sqrt {-3})\ar@{-}[d]^2 & \Q(\sqrt {-2})\ar@{-}[dl]^2\\
&\Q \\
}
$$
J'ai maintenant largement de quoi déterminer les caractéristiques de la représentation irréductible $\rho_2$ de dimension 2 de $\Gal(L/\Q)$. Comme toi, j'ai trouvé qu'elle est bien de conducteur $3 \times 16^2$, ...etc.. J'ai déterminé sa L-série et vérifié que :
$$
S_{\rho_2} \equiv \text{ModularForm}(y^2 = x^3 - x^2 - x -1) \bmod 3
$$
Cela sort d'où ? Mystère.
Mais j'ai essayé un autre exemple et tout a capoté : $y^2 = x^3 - 35x + 98$ (modèle minimal) à multiplication complexe par $\Q(\sqrt {-7})$, Silverman II p.111 2.3.1, de conducteur $2^4 7^2$, Cremona reference 784h1.
Le corps de décomposition $L$ du polynôme de 3-division $\Phi_3$ est une extension $D_4$-diédrale de $\Q$, qui contient les 3 extensions quadratiques $\Q(\sqrt {21})$, $\Q(\sqrt {-7})$, $\Q(\sqrt {-3})$.
La fumette est au dessus de $\Q(\sqrt {-7})$, sauf erreur de ma part. Fumette signifiant que $\Gal(L/\Q(\sqrt {-7})) \simeq C_4$.
On n'a PAS la congruence modulo 3. -
Claude,
J'ai regardé un peu le deuxième cas où ça capote. Le truc c'est que le groupe de Galois $\text{Gal}(E[ 3] \mid \Q)$ n'est pas diédrale. En fait, si je ne me suis pas trompé c'est un groupe semi diedrale. C'est surement de la drogue plus dur que la fumette :-D
Il y a trois représentations de degré $2$ et il y en a une qui provient d'un groupe diédral, mais les autres non ... Je comprends rien du tout en fait :-D -
$\def\GL{\text{GL}}\def\F{\mathbb F}$@moduloP
Moi pareil (je ne comprends rien du tout). De plus, pour la courbe elliptique $E : y^2 = f(x)$ ``où cela capote'', j'ai trouvé de moyen de confondre le corps $\Q(E[3])$ et le corps de décomposition du polynôme $\Phi_3$ de 3-torsion de $E$ i.e. j'ai ``oublié'' d'adjoindre les racines carrées des $f(x_i)$ où $x_i$ est une racine de $\Phi_3$.
Je dois laisser reposer (pause pour R.). Quand je dis que je ne comprends rien, c'est que je comprends parfaitement que cela me dépasse. Regarde le th. 9.4.1 p. 383 de Diamond & Shurman (An First Course in Modular Forms) et plus généralement tout le chapitre 9. Histoire de te faire peur, regarde en page 396, la conjecture 9.6.11 (de Serre, 1987 et avant, encore lui). Ce n'est plus une conjecture depuis les années 2006-2009 : dans Splitting Primes in https://arxiv.org/pdf/1007.4426.pdf, on voit les noms Khare & Wintenberger en haut de la page 1 et de nouveau 4 lignes en haut de la page 12.
Plus dur que la fumette ? Oui, probablement. Car l'adjectif modulaire possède maintenant deux sens : le sens de modulo 3 par exemple i.e. à l'arrivée dans $\GL_2(\F_3)$, voire $\GL_2(\overline {\F_3})$. Mais également dans le sens des formes modulaires.
Mais toi, avec ton nom de moduloP, pourquoi le modulaire à l'arrivée te ferait peur ? -
Coucou Claude,
Laissons reposer pour les vacances ! Je vais m'amuser a étudier en détails $\text{GL}_2(\mathbb{F}_3)$, ça fait longtemps que j'ai pas fait mumuse avec les matrices sur un corps fini :-D
Je commence par la fonction $\zeta$ pour $\text{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ :
$$
\frac{1-T}{1-p^2T} \odot \frac{1-pT}{1-q^2T} = \frac{1-p^2T}{1-pT} \frac{1-p^3T}{1-p^4T}
$$
Bon ça n'a rien a voir.
Je me demande quand même les liens entre la fonction $\zeta$ d'un groupe et celle des sous-groupe, normalement on doit pouvoir dire des choses amusantes ! -
$\def\Aut{\text{Aut}}\def\GL{\text{GL}}\def\F{\mathbb F}\def\Gal{\text{Gal}}$@moduloP
OK. Sauf que ne comprenant plus rien, je suis revenu à un truc de bébé. A savoir la 3-torsion de la courbe elliptique $E : y^2 = x^3 + x = f(x)$, à multiplication complexe par $\Z[i\rbrack$. J'ai tout explicité et je suis en désaccord avec l'exercice 6.17 de Silverman-Tate, p. 217.
Silverman Tate consacrent un certain temps (cours, exercices) à cette courbe $E$. Il y a en plus de l'exercice 6.17, l'exercice 6.18.
Le polynôme de 3-torsion de $E$ est :
$$
\Phi_3(X) = 3X^4 + 6X^2 - 1
$$
Il y a une formule qui donne $\Phi_3$ pour la courbe $y^2 = x^3 + bx + c$ dans l'exercice 6.5. Pour obtenir $\Q(E[3])$, il faut adjoindre $y$ tel que $y^2 = f(x) = x^3 + x$ où $x$ est une racine de $\Phi_3$. Au coefficient dominant près :
$$
\hbox {Pol min}_\Q(f(x)) = 27 X^4 + 72 X^2 - 16, \qquad\qquad
\hbox {Pol min}_\Q(y) = 27 X^8 + 72 X^4 - 16
$$
Je pose $K = \Q(i)$. On a alors $K(E[3]) = K(y)$. Attention à ne pas mélanger $\Q(E[3])$ et $K(E[3])$. Diagramme :
$$
\xymatrix {
L = K(E[3]) = K(y) \ar@{-}[d]^{C_8} \\
K = \Q(i) \ar@{-}[d]^2 \\
\Q \\
}
$$
J'ai rendu explicite $\Gal(L/K) = C_8$ via un automorphisme $\sigma$ d'ordre 8. Ainsi que l'action de $\sigma$ sur $E[3]$. C.a.d. que je dispose de :
$$
\Gal(L/K) \to \Aut(E[3]) \simeq \GL_2(\F_3)
$$
C'est une injection et j'ai obtenu la matrice $M$ image de $\sigma$, qui est bien d'ordre 3. Je pense que le sous-groupe image est relié au sous-groupe $(\Z[i\rbrack/3\Z[i\rbrack)^\times = \langle 1+i\rangle = \F_9^\times$. Pour moi, c'est le vrai visage du $C_8$.
Jusque là, tout va bien. Cela commence à se gâter lorsque l'on regarde $\Gal(L/\Q)$. D'abord $L/\Q$ est bien galoisienne car on peut remonter à $L$ la conjugaison complexe $\tau$ de $K/\Q$, que je nomme encore $\tau$. Et je trouve la relation :
$$
\tau \circ \sigma \circ \tau = \sigma^3
$$
Note l'exposant 3 et pas $-1$. Ce qui semble contredire la question (b) de l'exercice 6.17 p. 217 où on voit un exposant $-1$ à la place de mon 3 ici.
Quand tu auras le temps. MERCI. -
Hello Claude,
J'ai pareil que toi en faisant tout avec sage. J'obtiens les matrices suivante pour $C_8$ : (avec mon truc (le charabia, ou je dis : "j'ai pigé..." ) que j'ai raconté plus haut, ça doit fonctionner car $3$ est inerte dans $\Z[ i]$ !!!).MAT [ [1 0] [1 1] [0 2] [2 1] [1 2] [0 1] [2 2] [2 0] [0 1], [2 1], [1 0], [2 2], [1 1], [2 0], [1 2], [0 2] ]
Et je prend $\tau = \begin{pmatrix} 0&2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ et $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1&1 \end{pmatrix}$
Et je trouve la même relation que toi. En fait, c'est le même groupe semi-diédrale que dans l'autre exemple !sage: [g*d *g*d for g in MAT] < ---- dans Silverman 6.17 b/ ca doit donner des matrices scalaires ,d c'est la conjugaison complexe tau [ [1 0] [2 0] [1 0] [2 0] [2 0] [1 0] [2 0] [1 0] [0 1], [0 2], [0 1], [0 2], [0 2], [0 1], [0 2], [0 1] ]
Questions :
1/ tu as quoi comme édition, de Silverman Tate ? Je n'ai pas trouvé l'exercice !
2/ Juste un truc, comment tu fais pour la conjugaison complexe ? (Je sais que tu es spécialiste de la conjugaison complexe:-D), là j'ai fait le bourrin.
Donc maintenant les $a_p$. Donc pour créer les matrices j'ai utiliser ça : C'est le petit calcul que j'ai fait : écrire la matrice dans la base $(P,\phi(P))$ où $\phi$ est la multiplication complexe ... Je délire ???sage: def mat(f): ....: k = GF(3) ....: M = matrix(k,[[f[0],f[1]],[-f[1]*i.norm(),f[0]+f[1]*i.trace()]]) ....: return M
Now, je prend $p=101$, je décompose dans $\Z[ i]$ et j'obtiens un élément $z$ de norme $101$ ... Vu que tu veux faire joujou avec $\Z[ i]$ il faut attention au " $8$ pour le prix de $1$ " ... Hum, c'est casse pied, donc il faut normaliser modulo $(1+i)^3$, je ne me souviens plus. A priori, il faut faire en sorte que $z = -1 \pmod{(1+i)^3}$. C'est louche le $-1$. Je fais comme-ci c'était $-1$.
Bref,je trouve $z = 1-10i$sage: mat(-i*(i+10)) [1 2] [1 1]
Et la trace est bien la même que le coefficient $a_{101}$ modulo $3$.
Mais je ne sais pas trop, on ne voit pas la construction des matrices que je propose dans Silverman ... Donc je délire certainement ?
Niveau fumette, pas de Fumette pour le moment, on va devoir passé un coup de téléphone à Serre si j'ai bien compris :-D -
$\def\Gal{\text{Gal}}\def\GL{\text{GL}}\def\F{\mathbb F}\def\calO{\mathcal O}$@moduloP
Merci, cela me soulage. Il s'agit de la deuxième édition de Silverman-Tate (Rational Points on Elliptic Curves) et des exercices du chapitre VI (Complex Multiplication). La courbe $E : y^2 = x^3 + x$ est prise comme modèle dans le cours. J'espère que tu as cela ``dans le cours''. Car des choses à dire (cf plus loin).
Pour moi, l'exercice 6.17 qui stipule que $\Q(E[n])/\Q$ est generalized dihedral au sens de Cox-Bruckner est erroné.
1. Comment j'ai monté la multiplication complexe ? En un premier temps, je n'ai rien monté du tout car j'ai travaillé au dessus de $K = \Q(i)$. Et dans ce terrain, j'ai tout exprimé en fonction de l'élément primitif $y$ de $K(E[3])/K$ dont le polynôme minimal sur $K$ ou sur $\Q$ est le même ($F$ ci-dessous).
En un deuxième temps (en profitant du fait que certaines expressions de la première étape sont $\Q$-rationnelles), j'ai remonté $L = \Q(i,E[3])$ au dessus de $\Q$ comme $\Q$-compositum de $\Q(i)$ et de $\Q(y)$ (disjonction linéaire). Et j'ai imposé $\sigma$ et $\tau$ sur chaque branche.
J'ai poussé le bouchon jusqu'à exprimer les 8 racines de $F$ en fonction de l'une d'entre elle, dans un ordre 8-cyclique. Sécurité oblige.
// Apres calculs !! F := 27*X^8 + 72*X^4 - 16 ; L<i,y> := NumberField([X^2+1, F] : Abs := true) ; x := y^2 * 3/16 * (3*y^4 + 4) ; assert y^2 eq x^3 + x ; // Racines de F : (y0, y1, .., y7) conforme à sigma (d'ordre 8) y0 := y ; y1 := (1+i) * y * 1/4 * (9/4*y^4 + 5) ; y2 := -i*y ; y3 := -i*y1 ; y4 := -y ; y5 := -y1 ; y6 := i*y ; y7 := i*y1 ; Y := [y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7] ; assert &and [Evaluate(F,z) eq 0 : z in Y] and #SequenceToSet(Y) eq 8 ; sigma := iso < L -> L | i, y1 > ; tau := iso < L -> L | -i,y > ; assert tau*sigma*tau eq sigma^3 ;
2. Multiplication complexe et tout le truc. J'ai pris $I : (x,y) \mapsto (-x,iy)$.L 'automorphisme $\sigma$ est compatible au sens où $\sigma(p) = (1 + I)(p)$ sur les points de 8-torsion.
Quant à la matrice, j'ai fait ce que tu as écrit l'autre jour : j'ai pris comme base de la 3-torsion $p, I(p)$ où $p = (x,y)$ est le point générique de 3-torsion au dessus de $L$. Du coup, la matrice de $\sigma$ dans cette base est la matrice de la multiplication par $1+i$ dans la base $(1,i)$ de $\Z[i\rbrack$. C'est la matrice $M$ ci-dessous.
EL := BaseChange(E,L) ; /* [r,s,t,u] encode l'automorphisme |x'| |u^2 0| [x] |r| | | = | | | + | | |y'| |s*u^2 u^3| [y] |t| r=0, t= 0, s=0, u = -i pour avoir u^2 = -1, u^3 = i i.e. (x,y) -> (-x, i*y) */ r := 0 ; t := 0 ; s := 0 ; u := -i ; // I = (x,y) -> (-x, i*y) I := Automorphism(EL, [r,s,t,u]) ; p1 := EL![x,y] ; p2 := I(p1) ; Sigma := map < EL -> EL | p :-> [sigma(p[1]), sigma(p[2])] > ; // sigma induit 1+I sur les points de 3-torsion assert &and [Sigma(p) eq p + I(p) : p in [p1,p2]] ; M := Matrix(2,2, [[1,-1], [1,1]]) ; M ; /* > M ; [ 1 -1] [ 1 1] */ a,b,c,d := Explode(Eltseq(M)) ; assert Sigma(p1) eq a*p1 + c*p2 and Sigma(p2) eq b*p1 + d*p2 ; F3 := GF(3) ; assert Order(ChangeRing(M, F3)) eq 8 ;
3. Dans le chapitre VI, les auteurs font tout un patacaisse pour montrer que l'image (injective) de $\Gal(K(E[n])/K)$ dans $\GL_2(\Z/n\Z)$ est un groupe abélien. En faisant débarquer une matrice $A = \pmatrix {a & b\cr c &d\cr}$ (rien à voir avec $M$ ci-dessus) qui a la propriété que l'image est contenue dans le commutant dans $\GL_2(\Z/n\Z)$ de cette matrice $A$. Et cela dure 4 pages.
Or si on travaiile un peu, on peut expliciter cette matrice : il s'agit de $A = \pmatrix {0 & -1\cr 1 &0\cr}$ i.e. la matrice de la multiplication par $i$ dans la base $(1,i)$. Et du coup, le commutant en question, c'est juste ce qui commute à la multiplication par $i$, c'est $(\Z[i\rbrack/n\Z[i\rbrack)^\times$. Avantage : c'est direct et plus explicite.
Anecdote : j'ai vu un mémoire de M2 où les étudiants recopiaient Silverman-Tate, sans réfléchir plus que cela, en sortant les mêmes arguments. Juste une traduction en français. Je ne donne pas les noms.
4. Je crois me souvenir que l'on avait bricolé sur le Ray Class Field $H_{12\calO_K}$. Il me semble qu'il contient $K(E[3])$. Et même topo, $H_{12\calO_K}/\Q$ n'est pas Generalised Dihedral. On avait trouvé que le Ray Class Group est isomorphe à $C_2 \times C_8$. Mais dit comme cela, c'est purement groupiste donc pas très intéressant. -
$\def\Gal{\text{Gal}}\def\F{\mathbb F}\def\GL{\text{GL}}$@moduloP
1. Pas compris ce que tu fabriquais au niveau des $a_p$.
2. Le groupe de Galois G = $\Gal(\Q(E[3])/\Q)$ est un produit semi-direct $G \simeq C_8 \rtimes C_2$ où l'élément d'ordre 2 de $C_2$ agit sur $C_8$ par élévation au cube. Il possède trois représentations irréductibles de dimension 2. Avec un caractère rationnel et deux caractères $\Q$-conjugués à valeurs dans $\Q(i)$. Enfin, je crois.
On peut penser que la représentation $G \to \GL_2(\F_3)$ se relève à l'arrivée? Mais où ? En laquelle ? Si cela se trouve, il va falloir réduire une des deux représentations à valeurs dans $\Z[i\rbrack$ modulo $3$. Si tu ne comprends pas ce que je veux dire, laisse béton car moi non plus. -
Claude,
Pour $a_p$ ... hum, je sais pas trop c'est l'histoire de la normalisation que je n'ai toujours pas compris ... laisse tombé.
Si si je comprends ... regarde les tables de caractères ici on voit les représentations de dimension $2$.
Il y en a une (celle rationnelle qui provient du quotient diédral (orthogonal lift dans le lien = Inflation pour nous je pense) et ce n'est pas la bonne, j'ai testé). Après je suis d'accord avec la réduction. Mais sauf boulette les caractères sont a valeurs dans $\Q(\sqrt{-2})$ ... et la réduction est rationnelle sur $\mathbb{F}_3$ ... Tu peux vérifier les caractères ? Je me suis peut être trompé de groupe
-
$\def\GL{\text{GL}}\def\F{\mathbb F}$@moduloP
Mon navigateur me fait ch.er en m'empêchant de consulter certains sites. Je monte donc le produit semi-direct à la main. Notre groupe $G$ d'ordre 16 a le code <16,8> : 8-ième groupe dans la liste des 14 groupes d'ordre 16 (position un peu près standard).
> C2<c2> := CyclicGroup(2) ; > C8<c8> := CyclicGroup(8) ; > AutC8 := AutomorphismGroup(C8) ; > cube := iso <C8 -> C8 | c8 -> c8^3> ; > phi := hom <C2 -> AutC8 | c2 -> cube > ; > G := SemidirectProduct(C8, C2, phi) ; > assert IdentifyGroup(G) eq <16,8> ;
Table des caractères
> TG := CharacterTable(G) ; > TG ; Character Table of Group G -------------------------- ------------------------------- Class | 1 2 3 4 5 6 7 Size | 1 1 4 2 4 2 2 Order | 1 2 2 4 4 8 8 ------------------------------- p = 2 1 1 1 2 2 4 4 ------------------------------- X.1 + 1 1 1 1 1 1 1 X.2 + 1 1 -1 1 -1 1 1 X.3 + 1 1 -1 1 1 -1 -1 X.4 + 1 1 1 1 -1 -1 -1 X.5 + 2 2 0 -2 0 0 0 X.6 0 2 -2 0 0 0 Z1 -Z1 X.7 0 2 -2 0 0 0 -Z1 Z1 Explanation of Character Value Symbols -------------------------------------- # denotes algebraic conjugation, that is, #k indicates replacing the root of unity w by w^k Z1 = (CyclotomicField(8: Sparse := true)) ! [ RationalField() | 0, -1, 0, -1 ]
Je me suis planté dans mon précédent post : à valeurs dans $\Q(\root 8 \of 1)$ et pas dans $\Q(i) = \Q(\root 4 \of 1)$. Sorry. Essayons d'en savoir plus
> chi := TG[6] ; > BaseRing(chi) ; Cyclotomic Field of order 8 and degree 4 in sparse representation > u := chi[7] ; > u ; zeta(8)_8^3 + zeta(8)_8 > Mu<X> := MinimalPolynomial(u) ; > Mu ; X^2 + 2
SUPER ce $\sqrt {-2}$. Car $\GL_2(\F_3)$ se relève en $\GL_2(\Z[\sqrt {-2}])$ via l'idéal maximal $\langle 1 + \sqrt {-2}\rangle$ (cet élément est bien de norme 3 i.e. le corps résiduel est $\F_3$).
Concernant ce relèvement, j'attache un truc récupéré, écrit quand on bossait avec gai-requin sur un groupe de réflections de nom $G_{12}$ (Shephard-Todd).
Ya-plus-ka. Quoi ? J'en sais rien.
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