Résoudre l'équation $n!=2^p$

Tu sais que tout entier se factorise de façon unique (à l'ordre des facteurs près) comme produit de nombre premiers ? que le seul facteur premier de $2^p$ est $2$, alors que dans $n!$ interviennent tous les entiers entre $1$ et $n$ ? Ça restreint drastiquement les possibilités pour $n$, non ?

PS : D'après la réponse de nicolas.patrois, j'ai dû me faire couillonner par les implicites habituels : $n$ est un entier, $p$ vient juste après $n$ donc $p$ est un entier. Quel naïf, non ?

À des cacahuètes près, si $p$ est grand et si $n!=2^p$, alors $n$ est grand aussi et $n\ln \dfrac{n}{\mathrm{e}}+\ln\sqrt{2\pi n}\simeq p\ln2$ (Stirling).
Pour $p\simeq 8.796\cdot10^{12}$, on a : $p\ln2\simeq6.09\cdot10^{12}$.

En prenant le logarithme une fois de plus, on voit que $\ln n+\ln(\ln n-1+\ln\sqrt{2\pi n})\simeq\ln(p\ln2)$. On néglige le deuxième terme (avec les log de log), ce qui donne en première approximation, $\ln n\simeq \ln(6.09\cdot10^{12})\simeq29.44$.

En deuxième approximation, $n(\ln n-1)\simeq6.09\cdot10^{12}$, ce qui donne $n\simeq\dfrac{6.09\cdot10^{12}}{29.44-1}\simeq2.14\cdot10^{11}$.

En troisième approximation, $\ln(2.14\cdot10^{11})\simeq26.09$, d'où $n\simeq\dfrac{6.09\cdot10^{12}}{26.09-1}\simeq2.47\cdot10^{11}$.

On pourrait continuer... En faisant appel à la fonction magique find_root, une valeur approchée de la solution de l'équation $n\ln\dfrac{n}{\mathrm{e}}+\ln\sqrt{2\pi n}=p\ln2$ est $241\,566\,856\,326$, ce qui va plus vite et, au passage, valide l'approche précédente.