Somme d'exponentielles

Réponses

• noix de totos

  April 2018

  Comme d'habitude, je vais ré-indicer ta somme et généraliser, et comme d'habitude, je note $e(x) := e^{2 i \pi x}$.
  
  Il est plus pratique de travailler avec des sommes portant sur les nombres premiers eux-mêmes que sur les indices de nombres premiers.
  
  Lors de sa résolution du problème de Goldbach avec $3$ nombres premiers en 1937, l'un des résultats majeurs de Vinogradov [1, p. 131] est le suivant :
  
  Soit $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ et $\alpha \in \mathbb{R}$ tel qu'il existe deux entiers positifs $a,q$ premiers entre eux tels que $\left | \alpha - \dfrac{a}{q} \right |\leqslant \dfrac{1}{q^2}$ et $1 < q < N$. Alors
  $$\sum_{p \leqslant N} e \left( \alpha p \right) \ll N (\log N)^{9/2} \left( q^{-1/2} + q^{1/2} N^{-1/2} + e^{- \frac{1}{2} \sqrt{\log N}} \right).$$
  
  Référence.
  
  [1] I. M. Vinogradov, The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers, Dover, 2004. Réédition de l'ouvrage de 1954.
• Poirot

  April 2018

  Merci pour ta réponse très précise comme d'habitude :-)
  
  En fait, la question de base qui m'intéressait était la nature de la série des $\frac{\mathrm{e}^{i \theta p}}{p}$ (avec $\theta$ non multiple de $\pi$) qu'on peut étudier par transformation d'Abel. J'espérais qu'on puisse montrer que les sommes partielles de la série de mon premier message étaient bornées, mais ça semble mal parti... Si tu as une idée pour la nature de ma série, je suis preneur ;-)
• noix de totos

  April 2018

  Une sommation partielle est la bonne idée.
  
  La clé dans ce type de sommes est, comme tu l'as compris, de savoir si ton paramètre $\theta$ a une bonne approximation rationnelle.
  
  Je te renvoie également à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1594358,1594374#msg-1594374.
• Poirot

  April 2018

  Merci, j'avais oublié ce lien. Malheureusement ça ne nous aide pas à conclure à la nature de ma série. Au passage je ne vois pas où tu t'étais servi de l'hypothèse $\theta \not \in \mathbb Q$ dans ton argument de l'époque.
• noix de totos

  April 2018

  Si $\theta = \frac{a}{q}$ avec $(a,q)=1$, alors pour tout $A >0$
  \begin{eqnarray*}
  \sum_{p \leqslant x} e \left( \theta p \right) &=& \sum_{\substack{\ell \leqslant q \\ (\ell,q) = 1}} \pi(x;q, \ell) e \left( \frac{\ell a}{q} \right ) + \sum_{\substack{p \leqslant x \\ p \mid q}} e \left( \theta p \right) \\
  &=& \sum_{\substack{\ell \leqslant q \\ (\ell,q) = 1}} \left( \frac{\textrm{Li}(x)}{\varphi(q)} + O_A \left( \frac{x}{(\log x)^A} \right) \right) e \left( \frac{\ell a}{q} \right ) + O (\log q) \\
  &=& \frac{\textrm{Li}(x)}{\varphi(q)} \sum_{\substack{\ell \leqslant q \\ (\ell,q) = 1}} e \left( \frac{\ell a}{q} \right ) + O_A \left( \frac{x \varphi(q)}{(\log x)^A} \right) + O(\log q) \\
  &=& \frac{\mu(q)}{\varphi(q)} \, \textrm{Li} (x) + O_A \left( \frac{x \varphi(q)}{(\log x)^A} \right)
  \end{eqnarray*}
  où j'ai utilisé le théorème de Siegel-Walfisz (sous forme "faible") à la deuxième ligne. Attention à bien voir quand le terme principal domine le terme d'erreur.