Cardinaux
dans Arithmétique
Bonjour,
Je note $A_n$ l'ensemble des nombres entiers qui sont soit des puissances positives de $2$, soit des puissances positives de $5$, soit des puissances positives de $10$, mais tous inférieurs ou égaux à $10^n$;
$B_n$ l'ensemble des entiers qui sont du même type,et tous inférieurs ou égaux à $2^n$;
et enfin $C_n$ l'ensemble des entiers qui sont du même type, et tous inférieurs ou égaux à $5^n$.
Par exemple $A_3=\{2,4,5,8,10,16,25,32,64,100,125,128,256,512,625,1000\}$;
$B_3=\{2,4,5,8\}$ et $\quad C_3=\{2,4,5,8,10,16,25,32,64,100,125\}$.
Montrer que card$ (A_n)=$card$ (B_n)+$card$ (C_n) +1$
Je note $A_n$ l'ensemble des nombres entiers qui sont soit des puissances positives de $2$, soit des puissances positives de $5$, soit des puissances positives de $10$, mais tous inférieurs ou égaux à $10^n$;
$B_n$ l'ensemble des entiers qui sont du même type,et tous inférieurs ou égaux à $2^n$;
et enfin $C_n$ l'ensemble des entiers qui sont du même type, et tous inférieurs ou égaux à $5^n$.
Par exemple $A_3=\{2,4,5,8,10,16,25,32,64,100,125,128,256,512,625,1000\}$;
$B_3=\{2,4,5,8\}$ et $\quad C_3=\{2,4,5,8,10,16,25,32,64,100,125\}$.
Montrer que card$ (A_n)=$card$ (B_n)+$card$ (C_n) +1$
Réponses
-
J'ai d'abord essayé d'exprimer ces cardinaux avec la fonction partie entière.
Mais j'ai ensuite remarqué que le résultat se démontre rapidement en considérant séparément les puissances de $2$, celles de $5$ et celles de $10$. -
Je l'ai fait avec les parties entières et ça marche bien.
Mais on sent qu'il existe une preuve par bijection... -
Bonjour.
Je trouve:
$card(A_n) = 4n + \lfloor\frac{3n-1}{2}\rfloor$, et
$card(B_n) + card(C_n) = 4n + \lfloor\frac{2n}{3}\rfloor + \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor + \lfloor\frac{n-1}{3}\rfloor$
Merci -
Moi j'aurais plutôt dit que :
$\text{Card}(A_n)=3n+\lfloor n\log_25\rfloor+\lfloor n\log_52\rfloor$,
$\text{Card}(B_n)=n+\lfloor n\log_52\rfloor+\lfloor n\log_{10}2\rfloor$, et
$\text{Card}(C_n)=n+\lfloor n\log_25\rfloor+\lfloor n\log_{10}5\rfloor$.
L'égalité cherchée équivaut alors à $n=\lfloor n\log_{10}2\rfloor+\lfloor n\log_{10}5\rfloor+1$, ce qui n'est pas difficile à prouver si l'on songe que $n\log_{10}2+n\log_{10}5=n$ et que $\log_{10}2\not\in\Q$ (car une puissance de $2$ positive et distincte de $1$ ne peut pas être une puissance de $10$). -
Une puissance positive de $2$ inférieure ou égale à $10^n$ est soit inférieure ou égale à $2^n$, soit strictement plus grande que $2^n$ et inférieure ou égale à $10^n$. L'ensemble de ces dernières est en bijection (grâce à la division par $2^n$) avec l'ensemble des puissances positives de $2$ inférieures ou égales à $5^n$.
On peut jouer un jeu analogue avec les puissances positives de $5$.
Une puissance positive de $10$ inférieure ou égale à $10^n$ est soit inférieure ou égale à $5^n$, soit strictement plus grande que $5^n$ et strictement inférieure ou égale à $10^n$. L'ensemble de ces dernières est en bijection avec la réunion de $\{1\}$ avec l'ensemble des puissances positives de $10$ strictement inférieures à $2^n$ par $10^k\mapsto 10^{n-k}$; mais pour une puissance positive de $10$ être strictement inférieur à $2^n$ ou seulement inférieur ou égal à $2^n$, c'est kif-kif. -
Tu as du mal à comprendre ce que j'ai écrit, babsgueye ?
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Merci à tous. Une partition de $\N^*$ un peu sur le même modèle figure dans https://oeis.org/A189395
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Tout simplement les arguments de bijection démontrent :
1) que le nombre de puissances positives de $2$ inférieures ou égales à $10^n$ est égal à la somme du nombre de celles inférieures ou égales à $2^n$ et du nombre de celles inférieures ou égales à $5^n$.
2) que le nombre de puissances positives de $5$ inférieures ou égales à $10^n$ est égal à la somme du nombre de celles inférieures ou égales à $5^n$ et du nombre de celles inférieures ou égales à $2^n$.
3) que le nombre de puissances positives de $10$ inférieures ou égales à $10^n$ est égal à un plus la somme du nombre de celles inférieures ou égales à $5^n$ et du nombre de celles inférieures ou égales à $2^n$. -
Bonjour.GaBuZoMeu a écrit:1) que le nombre de puissances positives de 2 inférieures ou égales à 10^n est égal à la somme du nombre de celles inférieures ou égales à 2^n et du nombre de celles inférieures ou égales à 5^n.
Je ne suis pas convaincu.
Si je comprends bien, tu dirais qu'il n'y a pas de puissance de $2$ entre $5^n$ et $10^n$ ? -
Non, tu ne comprends pas bien. Relis plus attentivement, et essaie de comprendre mieux. J'écris qu'un nombre est égal à la somme de deux nombres. Je n'écris pas autre chose que tu as l'air d'imaginer.
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J'ai vu que tu as écrit ''qu'un nombre est égal à la somme de deux nombre'', mais mon inquiétude est: est-ce vraiment les bons nombres ?.
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C'est une excellente question ! D'ailleurs, il y a une conjecture célèbre qui se demande si $a+b=c$.
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Écoute, babsgueye, je veux bien essayer de t'expliquer. Encore faut-il que tu y mettes un peu du tien, et je n'ai pas l'impression que c'est le cas jusqu'à présent. Alors, dis-moi si tu veux ou non faire un effort de lecture. Sinon, j'arrête les frais.
Ce paragraphe (issu d'un message ci-dessus et rendu encore plus explicite) :
est une preuve du fait1) Une puissance positive de $2$ inférieure ou égale à $10^n$ est soit inférieure ou égale à $2^n$, soit strictement plus grande que $2^n$ et inférieure ou égale à $10^n$.
2) L'ensemble des puissances positives de $2$ strictement plus grandes que $2^n$ et inférieures ou égales à $10^n$ est en bijection (grâce à l'application $2^k\mapsto 2^{k-n}$) avec l'ensemble des puissances positives de $2$ inférieures ou égales à $5^n$.
Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?que le nombre de puissances positives de $2$ inférieures ou égales à $10^n$ est égal à la somme du nombre de celles inférieures ou égales à $2^n$ et du nombre de celles inférieures ou égales à $5^n$. -
@GBZM est ce que tu penses compter dans ton dernier message le cardinal d'un des trois ensembles $A_{n},\:$$\:B_{n}$ ou $\:C_n$. C'est pas le cas.
Donc pour moi, il y a beaucoup d'autres choses à dire pour prouver l'égalité voulue.
(je suis retourné relire la question; essayons de se mettre d'accord) -
J'ai l'impression que tu as de graves problèmes de lecture. Tu n'arrives pas à lire que je m'intéresse au nombre de puissances de $2$ inférieures ou égales à $10^n$ ?
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Mais c'est que il n'y a aucun de nos ensembles qui n'est composé que de puissances de $2$. Alors il faut aller encore plus loin dans les détails pour avoir ta preuve.
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@babsgueye :
Tu mettais en doute l'égalité 1) de ce message. Je t'ai réexpliqué cette démonstration (rien n'indique d'ailleurs que tu aies finalement compris).
Ensuite nous sommes face à un problème mathématique ardu : une fois démontrées les égalités 1), 2) et 3) de ce même message, comment en déduire $A_n=B_n+C_n+1$ ?
À part ça, ta formule pour $\mathrm{card}(A_6)$ donne $32$, alors que $\mathrm{card}(A_6)=33$.
Comment veux-tu qu'on te prenne au sérieux ? -
@babsgueye, les formules d'uvdose sont exactes. Il mérite . 100 000 ui sur 100 000
La méthode de Gbzm est excellente, il mérite aussi bu bu ga sur bu bu ga -
babsgueye a écrit:Je ne suis pas convaincu.
Si je comprends bien, tu dirais qu'il n'y a pas de puissance de 2 entre 5n et 10n ?
Tu te contredis.le même a écrit:@GBZM je ne mettais pas en doute l'égalité du message que tu cites.
Ça, c'est faux. Tu n'as toujours pas compris ?encore le même a écrit:Je disais qu'il y avait encore beaucoup de chemin à faire pour arriver à l'égalité $card(A_n)=card(B_n)+card(C_n)+1$. -
Je ne me contredis pas, j'évolue dans la compréhension de ce que tu dis pendant que tu expliques.
Y a encore du chemin à faire parce que tout ce que tu as dit dans le message que tu cites ne concerne que le cardinal de $A_n$ et tu n'arrives pas à un décompte avec ça. Tu n'as pas encore la bonne bijection pour l'égalité cherchée.
Désolé ! -
Décidément, tu ne comprends rien à rien. Inutile que je me fatigue plus.
-
Ben d'accord ! On en reste là alors.
-
C'est vrai. Ma formule n'est pas bonne. Il y a une coquille dans mon raisonnement.
En fait j'ai mal estimé la valeur de $k$ telle que $2^k\lt 5^n\lt 2^{k+1}$
Merci.
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Bonjour!
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