Somme des diviseurs de $p^4$ ...
dans Arithmétique
Bonsoir tout le monde, j'ai une difficulté avec l'exercice suivant : D'abord on a p est un nombre premier positif; j'ai démontré que p²=1 [3]
et que (2p²+p)²<4(1+p+p²+p^3+p^4)<(2p²+p+1)² ( c'est inférieur ou égale et supérieure ou égale )
Maintenant je dois montrer que si la somme de diviseurs positifs de p^4 est un carré parfait alors p=3
Alors la somme des diviseurs positifs que j'ai trouvée c'est 1+p+p²+p^3+p^4, j'ai posé 1+p+p²+p^3+p^4 =k², avec k appartient à N mais je ne sais plus quoi faire après si vous pouvez m'aider merci !!
et que (2p²+p)²<4(1+p+p²+p^3+p^4)<(2p²+p+1)² ( c'est inférieur ou égale et supérieure ou égale )
Maintenant je dois montrer que si la somme de diviseurs positifs de p^4 est un carré parfait alors p=3
Alors la somme des diviseurs positifs que j'ai trouvée c'est 1+p+p²+p^3+p^4, j'ai posé 1+p+p²+p^3+p^4 =k², avec k appartient à N mais je ne sais plus quoi faire après si vous pouvez m'aider merci !!
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Réponses
L'encadrement que tu as obtenu pour \(1+p+p^2+p^3+p^4\) te donne les valeurs possibles de \(k\).
Les entiers \(2p^2+p\) et \(2p^2+p+1\) sont consécutifs : l'un est pair, l'autre impair… il n'y a qu'une seule possibilité pour \(2k\).
Merci tout le monde !
\[4(1+p+p^2+p^3+p^4)\leqslant(2p^2+p+1)^2\]
est alors fausse puisque :
\[(2p^2+p+1)^2-4(1+p+p^2+p^3+p^4)=(p-3)(p+1)\]
relation qui permet d'ailleurs d'établir rapidement que le seul cas d'égalité est \(p=3\).