Le groupe $(\Z[i]/m)^\times/\langle i\rangle$

Bonsoir,
J'imaginais, à la lecture du message de killersmile38, que j'allais naviguer avec aisance dans les eaux paisibles des groupes abéliens finis. Il n'en a rien été et j'ai dû ramer laborieusement dans une mer hostile, creusée par des difficultés inattendues. Je pense cependant être parvenu à bon port et avoir élucidé la structure cherchée pour tous les $m$ de $\N^*$.
C'est plutôt compliqué et je me contente d' indiquer les points de passage essentiels et de fournir quelques exemples.
Je note, pour tout $n\in\N^*$, $\Z(n)$ le groupe $(\Z/n\Z, +)$ , $A(n)$ le groupe $(\Z\ [ i\ ]/n\Z\ [ i \ ]) ^{\times}$ et $\overline{A(n)}$ le groupe quotient $A(n)/ \langle i\rangle$.

$\bullet$ 1) La structure de $A(n)$ est donnée par les résultats suivants qui m'ont paru pas tout à fait faciles et intéressants:
Si et $m$ et $n$ sont premiers entre eux, alors $A(mn) \simeq A(m)\times A(n)$.
Si $p$ est un nombre premier tel que $p\equiv 1\:\mod4$ et $n\in \N^*$, alors $A(p^n)\simeq \Z(p^{n-1}) \times \Z(p^{n-1}) \times \Z(p-1) \times \Z(p-1)$.
Si $p$ est un nombre premier tel que $p\equiv3\:\mod 4$ et $n\in\N^*$, alors $A(p^n) \simeq \Z(p^{n-1}) \times \Z(p^{n-1}) \times \Z(p^2-1)$.
$A(2)\simeq \Z(2)$ et pour tout entier $n \geq 2$, $A(2^n)\simeq \Z(4)\times \Z(2^{n-1}) \times \Z(2^{n-2})$.

$\bullet$ 2) Pour obtenir la structure du quotient par $\langle i \rangle$, j'ai établi que:
Si $\displaystyle{G = \bigotimes _{i =1}^{s} \Z(2^{n_i})}$ (avec $n_i \geq2$ et $n_1\leq n_i$ pour tout $i$), et si $H$ est le sous -groupe d'ordre $4$ engendré par $(2^{n_1-2}; 2^{n_2-2}; ...2^{n_s-2})$ alors $\displaystyle{G/H \simeq \Z(2^{n_1-2}) \times \left( \bigotimes_{i=2}^s \Z(2^{n_i}) \right)}$
Si $\displaystyle{G = \Z(2)\times \left(\bigotimes_{i=1}^s \Z(2^{n_i})\right)}$ (avec $n_i\geq2$ et $n_1\leq n_i$ pour tout $i$), et si $H$ est le sous-groupe d'ordre $4$ engendré par $(1;2^{n_1-2};...2^{n_s-2})$ alors $\displaystyle{G/H \simeq \Z(2^ {n_1-1}) \times\left( \bigotimes_{i=2}^s \Z(2^{n_i})\right)}$.

$\bullet$ 3) Exprimer la structure de $\overline{A(n)}$ dans le cas général est délicat et demande des notations supplémentaires:
Si $p$ est un nombre premier impair, je note: $\alpha(p) =\frac {p-1}4$ si $p \equiv 1 \mod4$ et $\alpha(p) = \frac{p^2-1}4$ sinon. $G_p$ désigne le groupe $\Z(p-1)$ si $p \equiv 1 \mod4$ et le groupe trivial sinon.
$\forall n\in \N^*$, $p_n$ désigne un facteur premier impair de $n$ tel que la $2-$ valuation de $\alpha(p_n)$ soit le minimum de l'ensemble des $ v_2(\alpha(p))$ où $p$ décrit
l' ensemble des diviseurs premiers impairs de $n$.
$n$ s' écrit alors: $n=2^s p_n^t n_1$ où $n_1$ est premier à $2p_n$. La structure de $\overline{A(n)}$, pour $n\geq3$, est alors donnée par:
$$ \overline{A(n)} \simeq \left\{ \begin{array}{cr} \Z(p_n^{t-1}) \times\Z(p_n^{t-1})\times \Z(\alpha(p_n))\times G_{p_n}\times A(n_1)& \mathrm{si}\:\:s=0\\ \Z(p_n^{t-1}) \times\Z(p_n^{t-1})\times\Z(2\alpha(p_n)) \times G_{p_n}\times A(n_1)&\mathrm{si}\:\: s=1\\ \Z(2^{s-1}) \times \Z(2^{s-2}) \times A(n/2^s)&\mathrm{si}\:\: s \geq 2 \\ \end{array} \right.$$
(l'expression obtenue pour $\overline{A(n)}$ ne dépend pas du choix de $p_n$)

$\bullet$ 4) Je donne la structure de $\overline {A(n)}$ pour les premières valeurs de $n$:
$\overline {A(2)}$ est "trivial". $\:\overline{A(3)}\simeq\Z(2)$; $\:\overline{A(4)}\simeq\Z(2)$; $\:\overline{A(5)}\simeq\Z(4)$; $\:\overline{A(6)}\simeq\Z(4)$; $\:\overline{A(7)}\simeq \Z(12)$; $\:\overline{A(8)}\simeq \Z(2)\times\Z(4)$; $\:\overline{A(9)}\simeq\Z(3)\times\Z(6)$; $\:\overline{A(10)}\simeq\Z(2)\times\Z(4)$; $\:\overline{A(11)}\simeq \Z(30)$; $\:\overline {A(12)}\simeq\Z(2)\times\Z(8)$; $\:\overline{A(13)}\simeq \Z(3)\times\Z(12)$; $\:\overline{A(14)}\simeq \Z(24)$; $\:\overline{A(15)}\simeq \Z(4)\times\Z(8)$.
Amicalement,

Bonjour moduloP
Tu as parfaitement compris. J' ai rajouté un paragraphe à mon message où la structure de $\overline{A_n}$ est très péniblement explicitée.
Amicalement,