Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!

Zina0 · April 2005

Bonjour
Je ne sais pas démontrer que p! divise le produit de p nombres entiers consécutifs par exemple : T= n(n+1)….(n+ (p-1)) (sans utiliser les coefficients binomiaux)

Une tentative est la suivante : soit k un nombre premier apparaissant avec la puissance q dans La décomposition de p! en facteurs premiers. Je n’arrive pas à prouver que k^q divise n(n+1)….(n+ (p-1)).

Evidement tout nombre k<=p divise T, mais cela ne suffit pas.

Vos idées sont les bienvenues.
Merci.

corentin0 · April 2005

Il y a une méthode que je vois mais c'est passablement bourrin.
Ca consiste à étudier la valation des nombres premiers dans ces produits. Pour cela, il y a une formule magique qui s'écrit comme une grosse somme avec des parties entières;
Soit p premier, $\displaystyle val_p (n!)= \sum_{k=1}^{\infty} [\frac{n}{p^k}]$, bien sur cette somme est finie, et avec ça, tu dois pouvoir montrer que $val_p (n!) \geq val_p (k!)+ val_p ((n-k)!)$
Mais vraiment, pourquoi ne pas utiliser les coeffs binomiaux, c'est bien plus naturel...

Robomarc1 · April 2005

Bonjour,

Le produit de p entiers consécutifs est

$ n(n-1)....(n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!} = p! C_{n}^{p}$

C' est un entier.

Robomarc1 · April 2005

Ah, sans les binomiaux, j'avais zappé cette précision....

Ben faut refaire le meme boulot qu'avec ces binomiaux seuls, non ?

riri · April 2005

en termes ensemblistes, T est le nombre d'injections d'un ensemble E à p éléments dans un ensemble F à n éléments.
soit i une telle injection et G son image, alors à toute permutation dans G des images de i correspond une unique injection.
donc le nombre total d'injections est (card G)! fois le nombre de G possibles.
or card(G)=p donc T=p!*k.
bon d'accord c'est vraiment se mordre la queue puisque le k en question vaut C(p,n)... mais c'est une idée tordue de vouloir le faire sans les binomiaux !!! ;-)

abdou2 · April 2013

c'est très facile par récurrence
on démontre que p! / n(n+1)(n+2).......(n+p-1)
pour p=2 on a 2! / n(n+1)
on dit que la relation est vraie jusqu’à n est on démontre qu'elle vraie pour n+1
on démontre alors que (p+1)! / n(n+1)(n+2).......(n+p)
on a n(n+1)(n+2).......(n+p) = n(n+1)(n+2).......(n+p-1)(n+p)
par récurrence on sait que p! / n(n+1)(n+2).......(n+p-1)
alors n(n+1)(n+2).......(n+p) = p!.k (n+p)
on connait que quelque soit n appartenant a N n =(p+1).k ou n =(p+1).k+1 ou n =(p+1).k+2 ou n =(p+1).k+3 ou........n =(p+1).k+p
si n = (p+1).k+1 alors (p+1) / n+p et ainsi de suite jusqu'à si n = (p+1).k+p alors (p+1) / n+1
on déduit alors pour chaque cas que p+1 / n(n+1)(n+2).......(n+p)
d'ou le résultat que p! / n(n+1)(n+2).......(n+p-1)

keul007 · November 2017

Salut ! Vous trouverez un belle démonstration (avec les coeff. binomiaux) sur ce lien :

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/Facttron.htm

Aline Delves · November 2017

Bonjour,
Trouver un jour, dans le rayon mathématiques d'une librairie du centre de la France, les Recherches arithmétiques de Gauss, et se dire que sûrement, avec ce livre, on comprendra mieux. 69186

Namiswan · November 2017

On peut s'en sortir par reccurence (mais celle d'Abdou ne marche pas, en plus de comporter des coquilles) :

On suppose que l'on sait que le produit de $p-1$ nombres consécutifs est multiple de $(p-1)!$, et on veut montrer la même chose pour $p$ (la propriété étant triviale pour $p=1$). Posons $u_n=n(n+1)\cdots (n+(p-1))$. En partant de la relation $n=n+p \mod p$ et en multipliant á gauche et á droite par le nombre $(n+1)\cdots (n+(p-1))$, qui est multiple de $(p-1)!$ par hypothése de reccurence, on obtient $u_n=u_{n+1}\mod p!$. Donc le résidu de $u_n$ modulo $p!$ ne dépend pas de $n$, et puisque $u_0=0$ tous les $u_n$ sont multiples de $p!$. La reccurence est établie.

Note: d'une maniére cachée, on a fait une reccurence double sur n et p, ce qui est logique quand on pense á la structure du triangle de Pascal.

Aline Delves · November 2017

Bonsoir,
J'étais complètement hors-sujet, je n'avais pas bien lu le titre. Eventuellement, c'était cet extrait-là qui faisait référence à ce que vous cherchez (le corollaire). Merci de ne pas avoir relevé.
Cordialement,
Aline 69194

M.Floquet · November 2017

@Namiswan : Peux-tu expliciter la dernière étape de la récurrence ? Merci d'avance (:P)

Namiswan · November 2017

M. Floquet:
Pour tout $n$ on a $u_{n+1}=u_n \mod p! $ donc pour tout $n$, $u_n=u_{n-1}=\cdots=u_0 \mod p! $. Or $u_0=0$, donc $u_n=0 \mod p!$, i.e. $u_n$ est divisible par $p!$.

Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!

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