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Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!

Envoyé par Zina 
Bonjour
Je ne sais pas démontrer que p! divise le produit de p nombres entiers consécutifs par exemple : T= n(n+1)….(n+ (p-1)) (sans utiliser les coefficients binomiaux)

Une tentative est la suivante : soit k un nombre premier apparaissant avec la puissance q dans La décomposition de p! en facteurs premiers. Je n’arrive pas à prouver que k^q divise n(n+1)….(n+ (p-1)).

Evidement tout nombre k<=p divise T, mais cela ne suffit pas.

Vos idées sont les bienvenues.
Merci.
<latex> Il y a une méthode que je vois mais c'est passablement bourrin.
Ca consiste à étudier la valation des nombres premiers dans ces produits. Pour cela, il y a une formule magique qui s'écrit comme une grosse somme avec des parties entières;
Soit p premier, $\displaystyle val_p (n!)= \sum_{k=1}^{\infty} [\frac{n}{p^k}]$, bien sur cette somme est finie, et avec ça, tu dois pouvoir montrer que $val_p (n!) \geq val_p (k!)+ val_p ((n-k)!)$
Mais vraiment, pourquoi ne pas utiliser les coeffs binomiaux, c'est bien plus naturel...
<latex> Bonjour,

Le produit de p entiers consécutifs est

$ n(n-1)....(n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!} = p! C_{n}^{p}$

C' est un entier.
Ah, sans les binomiaux, j'avais zappé cette précision....

Ben faut refaire le meme boulot qu'avec ces binomiaux seuls, non ?
en termes ensemblistes, T est le nombre d'injections d'un ensemble E à p éléments dans un ensemble F à n éléments.
soit i une telle injection et G son image, alors à toute permutation dans G des images de i correspond une unique injection.
donc le nombre total d'injections est (card G)! fois le nombre de G possibles.
or card(G)=p donc T=p!*k.
bon d'accord c'est vraiment se mordre la queue puisque le k en question vaut C(p,n)... mais c'est une idée tordue de vouloir le faire sans les binomiaux !!! winking smiley
c'est très facile par récurrence
on démontre que p! / n(n+1)(n+2).......(n+p-1)
pour p=2 on a 2! / n(n+1)
on dit que la relation est vraie jusqu’à n est on démontre qu'elle vraie pour n+1
on démontre alors que (p+1)! / n(n+1)(n+2).......(n+p)
on a n(n+1)(n+2).......(n+p) = n(n+1)(n+2).......(n+p-1)(n+p)
par récurrence on sait que p! / n(n+1)(n+2).......(n+p-1)
alors n(n+1)(n+2).......(n+p) = p!.k (n+p)
on connait que quelque soit n appartenant a N n =(p+1).k ou n =(p+1).k+1 ou n =(p+1).k+2 ou n =(p+1).k+3 ou........n =(p+1).k+p
si n = (p+1).k+1 alors (p+1) / n+p et ainsi de suite jusqu'à si n = (p+1).k+p alors (p+1) / n+1
on déduit alors pour chaque cas que p+1 / n(n+1)(n+2).......(n+p)
d'ou le résultat que p! / n(n+1)(n+2).......(n+p-1)
Re: Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!
il y a six semaines
Salut ! Vous trouverez un belle démonstration (avec les coeff. binomiaux) sur ce lien :

[villemin.gerard.free.fr]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par keul007.
Re: Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!
il y a six semaines
Bonjour,
Trouver un jour, dans le rayon mathématiques d'une librairie du centre de la France, les Recherches arithmétiques de Gauss, et se dire que sûrement, avec ce livre, on comprendra mieux.


Re: Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!
il y a six semaines
On peut s'en sortir par reccurence (mais celle d'Abdou ne marche pas, en plus de comporter des coquilles) :

On suppose que l'on sait que le produit de $p-1$ nombres consécutifs est multiple de $(p-1)!$, et on veut montrer la même chose pour $p$ (la propriété étant triviale pour $p=1$). Posons $u_n=n(n+1)\cdots (n+(p-1))$. En partant de la relation $n=n+p \mod p$ et en multipliant á gauche et á droite par le nombre $(n+1)\cdots (n+(p-1))$, qui est multiple de $(p-1)!$ par hypothése de reccurence, on obtient $u_n=u_{n+1}\mod p!$. Donc le résidu de $u_n$ modulo $p!$ ne dépend pas de $n$, et puisque $u_0=0$ tous les $u_n$ sont multiples de $p!$. La reccurence est établie.

Note: d'une maniére cachée, on a fait une reccurence double sur n et p, ce qui est logique quand on pense á la structure du triangle de Pascal.
Re: Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!
il y a six semaines
Bonsoir,
J'étais complètement hors-sujet, je n'avais pas bien lu le titre. Eventuellement, c'était cet extrait-là qui faisait référence à ce que vous cherchez (le corollaire). Merci de ne pas avoir relevé.
Cordialement,
Aline


Re: Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!
il y a six semaines
@Namiswan : Peux-tu expliciter la dernière étape de la récurrence ? Merci d'avance spinning smiley sticking its tongue out
Re: Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!
il y a cinq semaines
M. Floquet:
Pour tout $n$ on a $u_{n+1}=u_n \mod p! $ donc pour tout $n$, $u_n=u_{n-1}=\cdots=u_0 \mod p! $. Or $u_0=0$, donc $u_n=0 \mod p!$, i.e. $u_n$ est divisible par $p!$.
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