Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p!
dans Arithmétique
Bonjour
Je ne sais pas démontrer que p! divise le produit de p nombres entiers consécutifs par exemple : T= n(n+1)….(n+ (p-1)) (sans utiliser les coefficients binomiaux)
Une tentative est la suivante : soit k un nombre premier apparaissant avec la puissance q dans La décomposition de p! en facteurs premiers. Je n’arrive pas à prouver que k^q divise n(n+1)….(n+ (p-1)).
Evidement tout nombre k<=p divise T, mais cela ne suffit pas.
Vos idées sont les bienvenues.
Merci.
Je ne sais pas démontrer que p! divise le produit de p nombres entiers consécutifs par exemple : T= n(n+1)….(n+ (p-1)) (sans utiliser les coefficients binomiaux)
Une tentative est la suivante : soit k un nombre premier apparaissant avec la puissance q dans La décomposition de p! en facteurs premiers. Je n’arrive pas à prouver que k^q divise n(n+1)….(n+ (p-1)).
Evidement tout nombre k<=p divise T, mais cela ne suffit pas.
Vos idées sont les bienvenues.
Merci.
Réponses
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Il y a une méthode que je vois mais c'est passablement bourrin.
Ca consiste à étudier la valation des nombres premiers dans ces produits. Pour cela, il y a une formule magique qui s'écrit comme une grosse somme avec des parties entières;
Soit p premier, $\displaystyle val_p (n!)= \sum_{k=1}^{\infty} [\frac{n}{p^k}]$, bien sur cette somme est finie, et avec ça, tu dois pouvoir montrer que $val_p (n!) \geq val_p (k!)+ val_p ((n-k)!)$
Mais vraiment, pourquoi ne pas utiliser les coeffs binomiaux, c'est bien plus naturel... -
Bonjour,
Le produit de p entiers consécutifs est
$ n(n-1)....(n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!} = p! C_{n}^{p}$
C' est un entier. -
Ah, sans les binomiaux, j'avais zappé cette précision....
Ben faut refaire le meme boulot qu'avec ces binomiaux seuls, non ? -
en termes ensemblistes, T est le nombre d'injections d'un ensemble E à p éléments dans un ensemble F à n éléments.
soit i une telle injection et G son image, alors à toute permutation dans G des images de i correspond une unique injection.
donc le nombre total d'injections est (card G)! fois le nombre de G possibles.
or card(G)=p donc T=p!*k.
bon d'accord c'est vraiment se mordre la queue puisque le k en question vaut C(p,n)... mais c'est une idée tordue de vouloir le faire sans les binomiaux !!! ;-) -
c'est très facile par récurrence
on démontre que p! / n(n+1)(n+2).......(n+p-1)
pour p=2 on a 2! / n(n+1)
on dit que la relation est vraie jusqu’à n est on démontre qu'elle vraie pour n+1
on démontre alors que (p+1)! / n(n+1)(n+2).......(n+p)
on a n(n+1)(n+2).......(n+p) = n(n+1)(n+2).......(n+p-1)(n+p)
par récurrence on sait que p! / n(n+1)(n+2).......(n+p-1)
alors n(n+1)(n+2).......(n+p) = p!.k (n+p)
on connait que quelque soit n appartenant a N n =(p+1).k ou n =(p+1).k+1 ou n =(p+1).k+2 ou n =(p+1).k+3 ou........n =(p+1).k+p
si n = (p+1).k+1 alors (p+1) / n+p et ainsi de suite jusqu'à si n = (p+1).k+p alors (p+1) / n+1
on déduit alors pour chaque cas que p+1 / n(n+1)(n+2).......(n+p)
d'ou le résultat que p! / n(n+1)(n+2).......(n+p-1) -
Salut ! Vous trouverez un belle démonstration (avec les coeff. binomiaux) sur ce lien :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/Facttron.htm -
Bonjour,
Trouver un jour, dans le rayon mathématiques d'une librairie du centre de la France, les Recherches arithmétiques de Gauss, et se dire que sûrement, avec ce livre, on comprendra mieux. -
On peut s'en sortir par reccurence (mais celle d'Abdou ne marche pas, en plus de comporter des coquilles) :
On suppose que l'on sait que le produit de $p-1$ nombres consécutifs est multiple de $(p-1)!$, et on veut montrer la même chose pour $p$ (la propriété étant triviale pour $p=1$). Posons $u_n=n(n+1)\cdots (n+(p-1))$. En partant de la relation $n=n+p \mod p$ et en multipliant á gauche et á droite par le nombre $(n+1)\cdots (n+(p-1))$, qui est multiple de $(p-1)!$ par hypothése de reccurence, on obtient $u_n=u_{n+1}\mod p!$. Donc le résidu de $u_n$ modulo $p!$ ne dépend pas de $n$, et puisque $u_0=0$ tous les $u_n$ sont multiples de $p!$. La reccurence est établie.
Note: d'une maniére cachée, on a fait une reccurence double sur n et p, ce qui est logique quand on pense á la structure du triangle de Pascal. -
Bonsoir,
J'étais complètement hors-sujet, je n'avais pas bien lu le titre. Eventuellement, c'était cet extrait-là qui faisait référence à ce que vous cherchez (le corollaire). Merci de ne pas avoir relevé.
Cordialement,
Aline -
M. Floquet:
Pour tout $n$ on a $u_{n+1}=u_n \mod p! $ donc pour tout $n$, $u_n=u_{n-1}=\cdots=u_0 \mod p! $. Or $u_0=0$, donc $u_n=0 \mod p!$, i.e. $u_n$ est divisible par $p!$.
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Bonjour!
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