Décomposition en facteurs premiers
dans Arithmétique
On suppose qu'il existe des entiers naturels non nuls m et n et a tels que : (E) : (4m+3)(4n+3)=4a²+1
a) Soit p un nombre premier positif qui divise 4m+3
Montrer que p est impair et que (2a)p-1 = (-1)(p-1)/2 [p]. C'est fait.
b) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que p=1 [4]. C'est fait.
c) Maintenant la question qui pose problème.
En utilisant la décomposition de 4m+3 en produit de facteurs premiers, montrer que la relation (E) est impossible, je ne sais pas où commencer
a) Soit p un nombre premier positif qui divise 4m+3
Montrer que p est impair et que (2a)p-1 = (-1)(p-1)/2 [p]. C'est fait.
b) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que p=1 [4]. C'est fait.
c) Maintenant la question qui pose problème.
En utilisant la décomposition de 4m+3 en produit de facteurs premiers, montrer que la relation (E) est impossible, je ne sais pas où commencer
Réponses
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Bonjour neeyz1
Pour ton 50ème message, tu aurais pu écrire en $\LaTeX$.
Que peux-tu dire de la congruence de $4m+3 \mod 4 $ ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
congru à 3 ?
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ou bien -1
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et 1 aussi
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Conclusion ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je n'ai pas trop compris. Où voulez-vous en venir ?
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Tu as écrit la réponse à ton problème. C'est sous tes yeux. Ouvre les.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
mais je n'ai rien décomposé non ?
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Ah bon ? Tu as répondu (congru à 3 ?) et (et 1 aussi) "au hasard" ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
non mais puisque 4 divise 4m donc 4m+3=3 [4]
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D'accord pour le $3$. Et pour le $1$ ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
4m+3=2(2m+1)+1
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ça va te donner une jolie congruence modulo DEUX.
non ?
Les questions a) et b) ainsi que le titre ne sont pas là uniquement pour le décor.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
je ne sais pas comment utiliser tout cela pouvez vous m'indiquer un chemin s'il vous plait ?
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je ne sais toujours pas
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Que sais-tu des nombres premiers qui divisent $4m+3$. Et que sais-tu de leur produit ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
je sais seulement que p divise 4m+3 ,
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Et que dit le b) ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
que p=1+4k , donc tous les nombres qui s'écrivent de cette forme divisent 4m+3 ?
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bha si p divise 4m+3 et que p=1+4k ça veut pas dire que 1+4k divise 4m+3 ?
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Peux-tu obtenir un nombre congru à 3 modulo 4 en multipliant entre eux des nombres congrus à 1 modulo 4 ?
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non ça donne 1 modulo 4
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Et que te dit-on sur la congruence modulo 4 de TOUT diviseur premier p de 4m+3 ?
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congru à 1 , ahh donc 4m+3 est congru à 1 modulo 4 , et on va faire quoi avec 4n+3 ?
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Ça te paraît possible que 4m+3 soit congru à 1 modulo 4 ?
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heu non c'est congru à 3 modulo 4 , donc c'est ça l'incohérent ? on a pas besoin d'étudier 4n+3 et 4a²+1 , et la question a ne va servir à rien ?
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Tu as montré que si le relation E est vraie, alors tout diviseur premier d'un certain entier de la forme 4m+3 est de la forme 4k+1, ce qui est impossible. Donc la relation E ne peut être vraie.
-
ahhhh mercii !!
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