Pi/4 ...

Généralisation: pour $n\in\N^*$ on a $\displaystyle\sum_{k=1}^n \arctan\dfrac{n}{n^2+k(k-1)}=\dfrac{\pi}4$.

Démonstration: $\arctan\dfrac{n}{n^2+k(k-1)}= \arctan\dfrac{k}{n}- \arctan\dfrac{k-1}{n}$.

Partant de la formule d'addition de l'arctangente et de la relation bien connue $\arctan1=\pi/4$, il est facile de vérifier ou fabriquer des formules de ce genre par ordinateur.

On pose en effet $f(x,y)=(x+y)/(1-xy)$, ce qui fonctionne pour des nombres $x$ et $y$ assez petits (c'est-à-dire qu'il n'y aura jamais de $\pm\pi$ dans la formule précédente). Par exemple, $f(1/2,1/3)=1$ traduit la relation célèbre $\arctan\frac12+\arctan\frac13=\frac\pi4$. Définissons par récurrence $F(x_1,\dots,x_n)=f\bigl(F(x_1,\dots,x_{n-1}),x_n\bigr)$. Voici une (presque) démonstration de cette formule et de la formule de Machin – $\frac{\pi}4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$.

sage: f(x,y) = (x+y)/(1-x*y)
sage: f(1/2,1/3)
1
sage: def F(L):
....:     if len(L)==1:
....:         return L[0]
....:     return f(F(L[:-1]),L[-1])
sage: F(4*[1/5])-f(1,1/239)
0

Application [2\arctan\frac16 + \arctan\frac17 + \arctan\frac18 + \arctan\frac19 + \arctan\frac1{11}=\frac{15\,103}{14\,731}=\arctan1+\arctan\frac{186}{14\,917}\]ou bien [\arctan\frac16 + \arctan\frac17 + \arctan\frac18 + \arctan\frac19 + \arctan\frac1{11}+\arctan\frac{391}{2406}=\frac\pi4\](calculer $F\bigl(\frac16,\frac17,\frac18,\frac19,\frac1{11}\bigr)=\frac{2051}{2797}$, et résoudre $f\bigl(\frac{2051}{2797},x\bigr)=1$).

Edit : $\arctan\frac23+\arctan\frac15=\frac\pi4$.

Plutôt que de chercher à démontrer la formule proposée au début du fil j'ai préféré chercher à la généraliser.
La généralisation avec $n$ à la place de $7$ est facile à trouver.
Ensuite pour la démontrer on pense à faire apparaître une somme télescopique ce qui est assez classique avec $\arctan$.
Je ne connaissais pas cette formule.