Puissance !

neeyz1
neeyz1
dans Arithmétique
Bonsoir tout le monde, si 2^a=2^b peut-on dire que a=b ? (On travaille dans N)

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    On peut dire ce qu’on veut. La question est peut-on démontrer ce résultat ? As-tu essayé ?
  • neeyz1
    neeyz1
    Heu je ne vois pas trop comment le démontrer à part utiliser Ln, mais c'est bizarre de l'utiliser en arithmétique.
  • Dom
    Dom
    Sans être très élégant :

    Si $a$ et $b$ sont des entiers naturels, alors on peut diviser par $2$ un certain nombre de fois chacun des membres de l'égalité. Jusqu'à obtenir $1$ d'un côté...qui est égal à l'autre, ce qui force à avoir $2^u=1$ où $u$ peut être explicité.
    Et donc $u=0$ (pourquoi ?).
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    neeyz1 a écrit:
    heu je ne vois pas trop commente le démontrer à part utiliser Ln , mais c'est bizarre de l'utiliser en arithmétique

    Pourquoi donc ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • neeyz1
    neeyz1
    Je n'ai pas trop compris Dom, mais je peux utiliser Ln non ?
  • ev
    ev
    Tu as ton permis poids logarithme ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Dom
    Dom
    On peut bien sûr utiliser $\ln$, si on connaît.

    Je reprends :
    Supposons qu'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que $2^a=2^b$.
    Par exemple, $a\leq b$.

    On divise chaque membre par $2^a$ : $1=\dfrac{2^b}{2^a}$.

    À poursuivre...
  • neeyz1
    neeyz1
    Bon je vais poster l'exercice ici ! Soit f l'application : f : N² ----> N

    (a,b)---->(2a+1)2^b


    1) Montrer que f est injectif

    2)Montrer que f est surjectif ,

    3) Résoudre dans N² l'équation f((a,b))=30

    Pour la question 1) je dois montrer que f((a,b))=f((x,y)) =>(a,b)=(x,y) , donc je dois montrer que a=x et que b=y

    Donc mon idée est dire que f((a,b))=f((x,y)) => (2a+1)2^b=(2x+1)2^y
    Donc 2^b divise 2^y et 2^y divise 2^b donc 2^b=2^y ce qui peut dire que b=y , et en remplaçant je vais trouver que a=x aussi , c'est juste ?

    Et pour la question 2 je dois montrer que l'équation f((a,b))=y admet une solution , mais je ne sais pas comment montrer cela si vous pouvez m'aider merci !
  • paf
    paf
    Tu peux utiliser $\ln$ si tu veux (à moins que tu ne tentes de résoudre un exercice qui t'en empêche), ça marche très bien.

    Sinon, je peux réécrire ce que Dom te proposait comme suit :
    suppose que $a>b$ et divise de chaque côté par $2^b$ (pourquoi tu peux et pourquoi cela te donne des entiers?). Écris le résultat sous la forme $2^{...} = ...$ et conclus.

    Pour la question 2, distingue le cas où $y$ est impair (donc $b$ peut valoir ...) et celui où $y$ est pair (dans ce cas, essaie de diviser autant que possible par 2).
  • neeyz1
    neeyz1
    si y est impair je peux directement dire que b=0 ? car si ce n'est pas le cas ce n'est pas possible qu'un nombre pair=impair
  • paf
    paf
    Exact. Et pour les nombres pairs ?
  • neeyz1
    neeyz1
    et pour le cas ou y est pair c'est compliqué :/
  • neeyz1
    neeyz1
    (2a+1)2^b=2k qu'est ce que je peux faire ensuite avec ça ?
  • Dom
    Dom
    [small]Heu, est-ce vraiment surjectif d'ailleurs ?
    Peut-on obtenir $0$ comme image ?
    Ne manque-t-il pas un $*$ sur le $\mathbb N$ d'arrivée ?

    Prenons mon intervention pour un détail.[/small]
  • neeyz1
    neeyz1
    oui il y'a un * sur le N d'arrivé , désolé !
  • paf
    paf
    Pour $y$ pair, essaie de diviser autant que possible par 2 (ou utilise la décomposition de $y$ en facteurs premiers).
  • neeyz1
    neeyz1
    ou bien j'ai une idée , (2a+1)2^b=2k donc 2^b/2 et 2/2^b donc 2^b=2 donc b=1 non ?
  • paf
    paf
    Essaie avec $y=4$ ou $24$
  • neeyz1
    neeyz1
    ce que j'ai dit est faux ?
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