Théorème de Paoli

Soient $a,b \in \mathbb{N}^*$ tels que $(a,b)=1$. D'après Bachet-Bézout, il existe $u,v \in \mathbb{N}$ tels que $-au+bv = 1$. La méthode de résolution habituelle des équations diophantiennes linéaires $ax+by=c$ donne les solutions dans $\mathbb{Z}^2$
$$x = -uc + bk \quad \textrm{et} \quad y = vc-ak \quad \left( k \in \mathbb{Z} \right).$$
On impose $x,y \geqslant 0$, ce qui implique que le nombre $\mathcal{D}$ de solutions dans $\mathbb{N}^2$ de l'équation $ax+by=c$ est égal au nombre d'entiers de l'intervalle $\left [uc/b, vc/a \right]$ (notons que l'on a trivialement $au \leqslant bv$ par définition de $u$ et $v$), et donc
$$\mathcal{D} = \left \lfloor \frac{vc}{a} \right \rfloor + \left \lfloor 1 - \frac{uc}{b} \right \rfloor.$$
Notons déjà que, si $r$ est le reste de la division euclidienne de $c$ par $ab$, alors ceci permet de montrer que le nombre de solutions dans $\mathbb{N}^2$ de l'équation $ax+by=r$ est $\leqslant \frac{vr}{a} + 1 - \frac{ur}{b} = 1 + \frac{r}{ab} < 2$ et donc est égal à $0$ ou $1$.

Si l'équation $ax+by=r$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^2$, alors l'intervalle $\left [ur/b, vr/a \right]$ ne contient pas d'entier, de sorte que $\left \lfloor ur/b \right \rfloor = \left \lfloor vr/a \right \rfloor$, et donc
\begin{eqnarray*}
\mathcal{D} &=& \left \lfloor \frac{vr}{a} \right \rfloor + bv \left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor + 1 + \left \lfloor -\frac{ur}{b} \right \rfloor -au \left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor \\
&=& \left \lfloor \frac{vr}{a} \right \rfloor + bv \left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor + 1 -1- \left \lfloor \frac{ur}{b} \right \rfloor -au \left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor \\
&=& (bv-au) \left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor .
\end{eqnarray*}
Le raisonnement est identique lorsque l'équation $ax+by=r$ a une solution dans $\mathbb{N}^2$, sauf qu'ici l'intervalle $\left [ur/b, vr/a \right]$ contient un seul entier, de sorte que $\left \lfloor ur/b \right \rfloor = \left \lfloor vr/a \right \rfloor - 1$.

Bonjour à tous,

      je "réactive" ce fil car il y a un point que je ne comprends pas.
En regardant les solutions dans $\mathbb{N}$ de l'équation $3x + 7y = 42$, si je ne me trompe pas, le théorème indique que le nombre de solutions est 2 puisque le reste de la division de 42 par 21 est 0.
Or, je trouve les solutions suivantes de (x;y) : (14;0), (7;3) et (0;6)

Si les solutions étaient à prendre dans $\mathbb{N}^*$, je n'en aurais qu'une et dans $\mathbb{N}$, j'en ai 3.
Qu'est-ce que je n'ai pas vu/compris ?

Je vous en remercie par avance
DZE

(0;0) n’est pas une solution.