Que sont les exclus devenus ?
dans Arithmétique
Pour $n\geq0$ et $m\geq1$, $v_{n,m}$ désigne l'entier le plus proche de $\log_{10}(m+n)+m-1$;
enfin, $u_n$ est le plus petit nombre de $n+1$ chiffres décimaux, ne figurant pas dans les $v_{n,m}$ .
Par exemple $v_{0,1}=0$ ; $\, v_{0,2}=1$ ; $\, v_{0,3}=2$ ; $\, v_{0,4}=4$; donc $u_0=3$.
Déterminer $u_n$ en fonction de $n$.
enfin, $u_n$ est le plus petit nombre de $n+1$ chiffres décimaux, ne figurant pas dans les $v_{n,m}$ .
Par exemple $v_{0,1}=0$ ; $\, v_{0,2}=1$ ; $\, v_{0,3}=2$ ; $\, v_{0,4}=4$; donc $u_0=3$.
Déterminer $u_n$ en fonction de $n$.
Réponses
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Indication : $\sqrt{10}$ commence par un $3$.
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Oui rosab il y a $10^{1/2}$ dans la réponse.
Une anecdote sur $\sqrt{10}$, qui n'a rien à voir avec ce fil :
l'entier le plus proche de $10+\sqrt{10}$ est $13$,
l'entier le plus proche de $13+\sqrt{13}$ est $17$,
l'entier le plus proche de $17+\sqrt{17}$ est $21$,
. . .
. . .
En continuant ainsi, on ne tombera jamais sur un carré ! -
Preuve de la dernière affirmation :
l'entier le plus proche $n+\sqrt n$ est $n+\lfloor \sqrt n +\frac12 \rfloor$.
Posons $f(n)=\sqrt n +\frac12$, f est croissante et ne prend jamais de valeurs entières.
On peut donc appliquer le théorème de Lambek-Moser.
$\sqrt n +\frac12=m$ donne $n=(m-\frac 12)^2$, donc $f^{-1}(n)=(n-\frac 12)^2$.
La suite complémentaire de $n+\lfloor \sqrt n +\frac12 \rfloor$ est $n+\lfloor (n-\frac12 )^2\rfloor=n^2$
On a donc montré que l'entier le plus proche $n+\sqrt n$ n'est jamais un carré. -
Bonjour Cidrolin,
$u_0=3, u_1=31, u_2=316, u_3=3 162, u_4=31 622, u_5=316 227, u_6=3 162 277, u_7=31 622 776, u_8=316 227 766...$. -
Il semble que $u_n$ soit le plus grand entier inférieur ou égal à $10^{n+\tfrac{1}{2}}.$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=[10^{n+\tfrac{1}{2}}].$$ -
Oui Bouzar (tu). Il reste à le prouver.
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Merci à Cidrolin pour ce bel exercice.
Pour démontrer le résultat de Bouzar j'avais d'abord trouvé une démonstration plus longue mais j'ai vu après coup qu'on pouvait se contenter d'étudier la suite $(v_{0,m})$.
En effet on a $v_{n,m}=\lfloor \log_{10}(m+n)+\frac12\rfloor+m-1=v_{0,n+m}-n$ donc il suffit de rechercher les exclus de la suite $(v_{0,m})$ pour en déduire ceux de la suite $(v_{n,m})_m$.
Clairement les $v_{0,m}=\lfloor \log_{10}(m)-\frac12\rfloor+m$ croissent de 1 en 1 sauf si pour un entier $k$ on a $ \log_{10} (m) -\frac12 <k< \log_{10} (m+1) -\frac12$ qui est équivalent à $m<10^k\sqrt{10}<m+1$ ou encore $m=\lfloor 10^k\sqrt{10}\rfloor$.
Les exclus de la suite $(v_{0,m})$ sont donc les $k+\lfloor 10^k\sqrt{10}\rfloor$ (nombre de $k+1$ chiffres).
Le seul nombre à $n+1$ chiffres exclu de la suite $(v_{n,m})_m$ est donc, pour $k=n$:
$u_n=n+\lfloor 10^n\sqrt{10}\rfloor -n=\lfloor 10^n\sqrt{10}\rfloor$. -
Bravo Jandri (tu)
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L'anecdote sur $\sqrt{10}$ rapportée au-dessus par Cidrolin a bien un rapport avec ce fil.
Plus généralement si on définit une suite $(w_n)$ par $w_0\in\N^*$ et $w_{n+1}$ est l'entier le plus proche de $w_n+\sqrt{w_n}$ alors les exclus de cette suite sont exactement les carrés supérieurs à $w_0$.
En effet, $w_{n+1}=f(w_n)$ avec $f(x)=\lfloor \sqrt x+\frac12\rfloor +x$.
$f(x+1)=f(x)$ sauf s'il existe un entier $n$ tel que $\sqrt x+\frac12<n<\sqrt{ x+1}+\frac12$ qui est équivalent à $x<n^2-n+\frac14<x+1$ où encore $x=n^2-n$.
Comme $f(n^2-n)=n^2-1$ et $f(n^2-n+1)=n^2+1$ on en déduit que $f(x)$ n'est jamais un carré et que les exclus de la suite $(w_n)$ sont exactement les carrés supérieurs à $w_0$. -
Bonsoir Jandri,
Un exemple :
Soit $k\geq 2$ entier, trouver une suite où les multiples de $k$ sont exclus. Je pose $u_n=kn$ et je cherche la suite complémentaire. On a $u_n=n+(k-1)n=n+\lfloor (k-1)n+\frac 12 \rfloor$.
Soit $f$ définie par $f(n)=(k-1)n+\frac 12$, $f$ est strictement croissante et ne prend pas de valeur entière.
$f^{-1}(n)=\dfrac{n-\frac 12}{k-1}$, et la suite complémentaire de $u_n$ est $v_n=n+\lfloor f^{-1}(n) \rfloor$.
On trouve $v_n=\lfloor \dfrac {kn-0,5}{k-1}\rfloor$. -
Bonsoir Cidrolin,
effectivement tous ces exemples sont bien des applications du théorème de Lambek-Moser.
Pour la suite $(v_{0,m})$ on a $f(x)=\log_{10}(x)-\frac12$ et $f^{-1}(x)=10^{x+1/2}$.
Pour la suite "entier le plus proche de $n+\sqrt n$" on a $f(x)=\sqrt x+\frac12$ et $f^{-1}(x)=(x-1/2)^2$.
Pour ton dernier exemple on a $f(x)=(k-1)x+\frac 12$ et $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1/2}{k-1}$. -
Et tout est parti de ce problème de mars 1926 :
-
Une façon de généraliser le théorème de Beatty est de choisir un réel positif $x$ dont aucune puissance n'est dans $\Q$.
Dans le tableau on utilise E pour la partie entière. Le résultat de Beatty est en ligne $2$.
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