Équation diophantienne $a^2+ab+b^2=19$
dans Arithmétique
Bonsoir tout le monde
S'il vous plaît, comment résoudre l'équation suivante : $a^2+ab+b^2=19$ ($a$ et $b$ appartiennent à $\mathbb N^*$)
S'il vous plaît, comment résoudre l'équation suivante : $a^2+ab+b^2=19$ ($a$ et $b$ appartiennent à $\mathbb N^*$)
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Réponses
Est-ce juste ou y a-t-il un chemin plus facile ?
$a$ et $b$ sont dans $\{1;2;3;4\}$, seize cas à tester, avec un tableur ça se fait en deux deux.
Désolé d'être si brutal si tôt le matin.
S
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
J'ai survécu à $(a+b)^2=19+ab$ mais le donc de Sylvain me semble brutal, je poursuivrais avec $2\leqslant ab\leqslant 6$ et le seul carré parfait dans $[21;25]$ est $25$. Donc $ab=6$. Donc un seul cas possible à tester, qui convient.
Le temps de cette élégance la force brutale a fait son œuvre ceci dit.
S
$$
(2a+b)^2+3b^2=4\times 19
$$
et résout toutes les équations du type $a^2+ab+b^2=...$
Pourquoi ces questions sieur neez1 ?
S
$$a^2+ab+b^2=(a-jb)(a-j^2b)=19$$
Ce qui montre que les solutions sur Z (et pas seulement sur N) s'obtiennent en appliquant les symétries du carré à ta solution initiale. Donc deux solutions positives et 8 solutions au total.
On peut donner aux élèves des exemples beaucoup moins triviaux et qui se traitent facilement (il y en aussi plein dans Euler).
M.
-- Schnoebelen, Philippe
:-)
S
$8$ ou $12$ solutions sur $\Z$ ?
Oui je te vois venir Mauricio
et tu tututoies la lumière ?
S