Produit de deux sommes arithmétiques

Bonjour, Je trouve étrange le produit entre deux sommes arithmétiques.
Je décris la situation rencontrée pour que quelqu'un puisse éclaircir ce qui se passe au moment ou les deux sommes arithmétiques ne font qu'une.
\begin{align*}
\sum^n_{k=1} \frac{x}{n}&=x \\
\sum^n_{k=1} \frac{k}{\frac{n(n+1)}{2}}&=\sum^n_{k=1} \frac{2k}{n^2+n}=1
\end{align*}
Jusque la trivial. $\quad\displaystyle \sum^n_{k=1} \frac{x}{n} \times \sum^n_{k=1} \frac{2k}{n^2+n}=x \times 1.$
J' ai fait cette erreur. $\quad\displaystyle \sum^n_{k=1} \frac{2kx}{n^3+n^2} \neq x.$
Puis je rectifie sans bien comprendre. $\quad\displaystyle \sum^n_{k=1} \frac{2kx}{n^2+n} = x.$
Que se passe-t-il ?

[Ne pas abuser des expressions centrées. AD]