Diviseurs des nombres de Mersenne

Soit $q$ un diviseur premier de $2^p-1$. On a donc $2^p \equiv 1 [q]$ et comme $p$ est premier, c'est l'ordre de $2$ dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. Ainsi le sous-groupe engendré par $2$ (plutôt sa classe) est d'ordre $p$ et divise donc $q-1$, l'ordre du groupe $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$, par le théorème de Lagrange.

Du coup il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $kp=q-1$. Si $k$ était impair, le côté gauche serait impair (car $p \geq 3$ premier) alors que le côté droit est pair, donc $k$ est pair. Il est de plus non nul car $q$ ne peut-être égale à $1$ puisqu'il est premier

CQFD?

Une démo sans Lagrange?