Diviseurs des nombres de Mersenne
dans Arithmétique
Bonjour,
je me demandais si l'assertion suivante est vraie.
"Pour tout entier naturel impair n, il existe un entier naturel k tel que n divise (2^k - 1)"
On sait d'après le petit théorème de Fermat que si n est premier, c'est dans la poche car alors n divise (2^(n-1) - 1), mais qu'en est-il des autres ?
Des idées ?
Merci pour votre aide.
je me demandais si l'assertion suivante est vraie.
"Pour tout entier naturel impair n, il existe un entier naturel k tel que n divise (2^k - 1)"
On sait d'après le petit théorème de Fermat que si n est premier, c'est dans la poche car alors n divise (2^(n-1) - 1), mais qu'en est-il des autres ?
Des idées ?
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Réponses
"Pour tout entier naturel impair n, il existe un entier naturel k non nul et strictement inférieur à n tel que n divise (2^k - 1)"
En fait c'est vrai et ça se démontre directement avec le théorème d'Euler:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'Euler_(arithmétique)
Soit $p \geqslant 3$ premier. Montrer que tout diviseur premier de $2^p-1$ est de la forme $1+ 2kp$ avec $k \in \mathbb{N}^*$.
Du coup il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $kp=q-1$. Si $k$ était impair, le côté gauche serait impair (car $p \geq 3$ premier) alors que le côté droit est pair, donc $k$ est pair. Il est de plus non nul car $q$ ne peut-être égale à $1$ puisqu'il est premier
CQFD?
Une démo sans Lagrange?
ta question est la suivante;
pour tout entier impair n , est ce que l'ordre de 2 dans z/nz est k ? .
on a
qu' essayer . k=1 ,2,,,,,,.....m .