Tau de Ramanujan et Fibonacci

Sylvain · May 2018

Bonjour,

Il semblerait qu'il existe des liens entre la fonction tau de Ramanujan et la suite de Fibonacci.

Si je calcule les premiers termes de la suite $ u_{n}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{\tau(k)}{k} $ j'obtiens : 1, 13=F_7, 97=F_11+F_6, 465=2F_13-F_0, 1431=F_17-F_12-F_8-F_0, 2439=F_18-F_12-F_0.

Les u_n semblent être des entiers combinaisons linéaires à coefficients entiers des F_k avec k poids d'une forme modulaire et des F_p avec p et F_p premiers.

Il y a d'autres coïncidences :$ \pi(F_{11})=-\tau(2) $ , $ \pi(F_{17})=\tau(3)-1 $, $( \tau(5)/5-\tau(6)/6)\times\phi/2 $ est très proche de 1597=F_17...

Bref, la suite de Fibonacci semble de nature modulaire en un sens à préciser. Des pistes d'explication ?

Sylvain · May 2018

On pourrait peut-être étudier les sommes partielles de la série de Dirichlet $ L_{\Delta}(\chi,s)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\chi(n)\tau(n)}{n^{s}} $ en $ s=0 $ ou $ 1 $ .

Math Coss · May 2018

Voici les premiers termes que j'obtiens, la conjecture se casse assez vite la figure.

[1, 13, 97, 465, 1431, 2439, 47, -10513, -23140, -11548,
 407584/11, 747616/11, 3363890/143, -740782/143, 10862810/143,
 2040282/143, -952863768/2431, -1321218612/2431, 814758392/46189]

PS : le code en Sage (bien naïf) :

tau = lambda n: taylor(x*prod(1-x^k for k in range(1,n+1))^24,x,0,n).list()
L = tau(300) # les 300 premières valeurs de tau
[add((-1)^(k-1)*L[k]/k for k in range(1,n+1)) for n in range(1,21)]

Tau de Ramanujan et Fibonacci

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