Soustraction et addition
dans Arithmétique
Bonjour,
On dit que 5 + (-8) (par exemple) est en quelque sorte la véritable écriture et que 5-8 est une convention, donc d'après cela l'opération de la soustraction n'existe pas réellement non ? Vu que la soustraction est en soit une convention.
Désolé d'avance du bas niveau de cette question sur ce genre de forum. Merci et bonne journée!
On dit que 5 + (-8) (par exemple) est en quelque sorte la véritable écriture et que 5-8 est une convention, donc d'après cela l'opération de la soustraction n'existe pas réellement non ? Vu que la soustraction est en soit une convention.
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Réponses
Il me semble que même dans le primaire, c'est "défini" ("compris") comme une addition à trou.
Je pense à l'algorithme de soustraction posée : d'ailleurs on voit deux manières de procéder et l'une d'entre elles me révulsent (avec "on casse la dizaine") mais c'est très personnel, j'en conviens.
Je dis cela car dès qu'on dit à l'élève de poser une addition en écrivant le résultat et en laissant une ligne (la deuxième) vide, alors il sait s'en sortir sans problème (principe de l'addition à trou).
C'est quand on regarde les structures mathématiques (groupe) que l'on ne parle que d'addition puis de symétrique.
La soustraction ne plait pas trop aux mathématiciens à cause de propriétés qu'elle n'a pas, je pense.
Après avoir dit cela, je suis d'accord pour dire que de ce point de vue "structure" : "5-8 est en quelque sorte l'écriture simplifiée de 5+(-8)".
Mais si tu dis que "5-8 est en quelque sorte l'écriture simplifiée de 5+(-8)", alors la soustraction n'existe pas vraiment non ? Vu que comme tu dis c'est une écriture simplifié, ce qui existe est l'addition de nombre négatif non ?
En un sens, l'opération de soustraction $(x,y) \mapsto x-y$ existe en tant qu'application de $\mathbb Z$ dans lui-même, dans un autre sens, celle-ci n'est pas "nécessaire" au sens où le langage $(+, -, 0)$ de la théorie des groupes abéliens (où le symbole $-$ est le symbole d'opération unaire donnant l'opposé d'un nombre) suffit à la définir en tant qu'opération à deux variables.
5 existe-t-il ? Car ce n'est qu'une façon d'écrire plus simplement 1+1+1+1+1.
Si tu refuses l'existence mathématique à toutes les abréviations d'opérations complexes, il ne doit pas te rester grand chose.
mais on définit bien une "opération" (exactement ici une loi de composition interne) sur les nombres entiers relatifs (ou les décimaux, ou les rationnels, ou ...), en définissant $(x,y) \mapsto x-y=x+(-y)$. Comme le fait d'exister en maths correspond à une définition cohérente, il ne te reste qu'à accepter, ou à prouver que cette définition est incohérente.
Cordialement.
C'est parce que tu es allé dans $\mathbb{Z}$ qu'on t'a dit que c'est plus la peine de parler de soustraction. Mais reste dans $\mathbb{N}$ voir...Tu sauras c'est quoi faire la différence de deux nombres et pourquoi une soustraction n'est pas addition en général..
Comme disait gerard0 (x,y) -> x-y = x + (-y) or on est dans N et de ce fait -y n'existe pas
Après, la démonstration que c'est bien défini dépend des axiomes de $\mathbb{N}$ que tu choisis, mais tu n'as pas besoin de faire intervenir $\mathbb{Z}$
Comme le fait remarquer Dom plus haut, c'est équivalent à une "addition à trou"
interpréter ce que j'ai dit à propos de certains ensembles d'entiers en te plaçant dans un autre est assez illogique, voire relève d'un argument polémique ridicule. Je ne parlais que de ton affirmation de ce message; où tu parles bien de -8, donc tu n'étais pas dans $\mathbb N$.
Donc soit tu es sérieux, et tu réfléchis à ce qui t'est dit, soit tu viens seulement troller.