Suites et congruences

3a) Le pgcd de $a_n$ et $b_n$ divise $5$.

3b) Si $5$ divise $a_n$ alors $n\equiv2\;[5]$.
Réciproquement, si $n\equiv2\;[5]$ alors $2n+1\equiv0\;[5]$ et $n^2+1\equiv0\;[5]$ donc $5$ divise $a_n$ et $b_n$ donc $5$ divise leur pgcd. On conclut par 3a.

3c) D'après 3a, le pgcd est $1$ ou $5$. D'après le tableau, si $n$ n'est pas congru à $2$, alors $2n$ n'est pas congru à $4$ et donc $a_n=2n+1$ n'est pas congru à $0$ modulo $5$, c'est-à-dire que $5$ ne divise pas $a_n$. Le pgcd ne peut pas être $5$.