Fonctions multiplicatives divisant $n$

Light*
Light*
dans Arithmétique
Bonjour à toutes et à tous,

Je voulais savoir si on "connaissait" toutes les fonctions multiplicatives qui divise $n$; c'est-à-dire toutes les fonctions multiplicatives telles que $f(n)\mid n$ pour tout entier naturel non nul $n$. J'ai pensé à la suite suivante : $$ \gamma_0(n)=n,~~ \gamma_1(n)=\gamma(n),~~ \gamma_{i+1}(n)=\frac{\gamma_{i-1}(n)}{\gamma(\gamma_i(n))} $$ où $\gamma$ est le noyau (ou le radical d'un entier). De plus, cette suite a l'air d'avoir une bonne limite : $1(n)=1$. Cette suite englobe-t-elle toutes les fonctions désirées ?

Merci d'avance !

Réponses

  • Cidrolin
    Cidrolin
    On peut considérer $f$ multiplicative vérifiant $f(3^k)=3$ et si $p$ premier différent de $3$ : $f(p^k)=1$.
  • Light*
    Light*
    Oui... oui ! Mais pour une raison que j'ignore, cela ne me convient pas. Je ne dis pas que ton exemple est faux (parce qu'il est vrai ^^) mais dans ce dernier, il y a une préférence pour $p=3$. On peut en faire un pour chaque $p$ premier, mais cela signifie que tous les nombres premiers "ne sont pas logés à la même enseigne". Expression purement française qui n'a peut-être aucun équivalent mathématique... en a-t-il? Il y aurait-il une expression mathématique "sans accolade"? :p

    Je sais que je chipote, mais j'ai le sentiment qu'il y a une différence fondamentale...

    De plus, peut-on mettre une topologie sur l'ensemble des fonctions multiplicatives? Car j'ai particulièrement envie de dire que l'ensemble des mes fonctions ci-dessus est un ensemble... fermé dans celui des fonctions multiplicatives qui divisent $n$ (et dans celui des fonctions multiplicatives tout court d'ailleurs).

    Que d'approximations dans mes dires, je m'en excuse !
  • Cidrolin
    Cidrolin
    On peut considérer $f$ multiplicative telle que $f(p^k)=p^k$ si $k \leq 2018$, et $f(p^k)=1$ sinon.
  • Sylvain
    Sylvain
    Oui mais c'est le même principe, ça introduit une discrimination des entiers naturels, ce que ne veut pas Light si j'ai bien compris.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Sans doute, mais il n'y a pas de discrimination entre les premiers.
  • Sylvain
    Sylvain
    En fait je pense que Light* veut que l'ensemble des $ n $ tels que $ f(n)=1 $ soit de densité nulle ou soit fini ou que de la suite des $ f(n) $ on puisse extraire une sous-suite strictement croissante. Mais je le laisse s'exprimer sur la question.
  • Light*
    Light*
    Merci Sylvain !

    Alors Cidrolin, je te mets au défi : donner une définition sans accolade :p

    Et pour mon histoire de topologie?
  • Cidrolin
    Cidrolin
    $f(p^k)=p^{ \lfloor \sqrt k \rfloor}$ est sans le mot si.
  • Light*
    Light*
    Tu m'as eu ! Bien joué quelle imagination ;) Surtout que la généralisation va très vite après : toutes les fonctions $g$ telles que $g(k) \leq k$ et $g(k) \in \mathbb{N}$.

    Je m'avoue vaincu devant tant de créativité :) Bon, et mon histoire de topologie alors ! :p
  • Poirot
    Poirot
    Tu peux toujours mettre des topologies sur un ensemble non vide, encore faut-il qu'elles soient intéressantes. Pour ta question, tu peux toujours t'amuser à considérer la topologie engendrée par le complémentaire de l'ensemble de tes fonctions dans l'ensemble des fonctions multiplicatives. Tu obtiens bien que ton ensemble de fonctions est fermé...
  • Light*
    Light*
    Ah merci Poirot !

    Mais est-ce que c'est "intéressant" justement? :D
  • Poirot
    Poirot
    Ça m'étonnerait beaucoup. Une topologie qu'il semble naturelle d'imposer est la topologie produit induite de la topologie produit sur $\mathbb C^{\mathbb N}$. Il est évident que l'ensemble des fonctions multiplicatives est fermé pour cette topologie. Par contre il me semble faux que les fonctions multiplicatives "qui divisent $n$" (ça ne veut pas dire grand-chose puisqu'on veut parler de tous les $n$ mais passons) forment une partie fermée de cet espace.

    Pourquoi veux-tu que ton ensemble (dénombrable) soit fermé dans l'ensemble des fonctions multiplicatives "qui divisent $n$" exactement ? Qu'est-ce que cela t'apporterait ?
  • Light*
    Light*
    Poirot a écrit:

    Une topologie qu'il semble naturelle d'imposer est la topologie produit induite de la topologie produit sur $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$

    Donc il n'y aurait pas de topologie particulière sur l'ensemble des fonctions multiplicatives..?
    ça ne veut pas dire grand-chose puisqu'on veut parler de tous les n mais passons

    Hey mais la longueur du titre est si petite ! Bien évidemment que tu as raison :)
    Pourquoi veux-tu que ton ensemble (dénombrable) soit fermé dans l'ensemble des fonctions multiplicatives "qui divisent n" exactement ? Qu'est-ce que cela t'apporterait ?

    Aucune idée... c'est juste qu'une suite d'éléments qui partagent une propriété, et telle que leur limite partage elle aussi la même propriété, me fait penser à un sous-ensemble fermé. Après... je m'interroge. Et donc je vous interroge :p

    Mais je trouve quand même bizarre que les fonctions multiplicatives (et arithmétiques en général) n'aient pas leur topologie "spéciale" (comme celle de Zariski en géométrie algébrique par exemple) ! En tout cas merci de vos réponses !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3

3 Invités