Somme de fonctions nombre de diviseurs
dans Arithmétique
Bonjour à toutes et à tous
J'ai récemment été amené à vérifier l'égalité suivante (égalité (23.3), à la page 168 de ce PDF https://lc.cx/m8tv) :
Soient $k\geq 1$ sans carré, $\tau$ la fonction nombre de diviseurs et $\displaystyle D_k(x):=\sum_{\substack{(n,k)=1\\ n\leq x}}\tau(n)$. Alors $$
D_k(x)=\sum_{\substack{d_1|k\\ d_2|k}}\mu(d_1)\mu(d_2)D_1\left(\frac{x}{d_1d_2}\right)
$$ Et là... je bloque. J'ai essayé de partir du terme de gauche, mais de la condition $(n,k)=1$, je n'arrive qu'à faire apparaître un seul $\mu$. Et en partant du terme de droite, j'ai essayé d'inverser les sommes pour obtenir $$
\sum_{\substack{d_1|k\\ d_2|k}}\mu(d_1)\mu(d_2)D_1\left(\frac{x}{d_1d_2}\right)=\sum_{n\leq x}\sum_{\substack{d_1,d_2|k\\ d_1d_2|n}}\mu(d_1)\mu(d_2)\tau(n/(d_1d_2))
$$ et ensuite d'utiliser une série de Dirichlet pour ré-exprimer le terme général de la somme sur $n$... Mais encore sans succès.
Si quelqu'un a une piste, je suis preneur !
Par avance merci,
Jérémy
J'ai récemment été amené à vérifier l'égalité suivante (égalité (23.3), à la page 168 de ce PDF https://lc.cx/m8tv) :
Soient $k\geq 1$ sans carré, $\tau$ la fonction nombre de diviseurs et $\displaystyle D_k(x):=\sum_{\substack{(n,k)=1\\ n\leq x}}\tau(n)$. Alors $$
D_k(x)=\sum_{\substack{d_1|k\\ d_2|k}}\mu(d_1)\mu(d_2)D_1\left(\frac{x}{d_1d_2}\right)
$$ Et là... je bloque. J'ai essayé de partir du terme de gauche, mais de la condition $(n,k)=1$, je n'arrive qu'à faire apparaître un seul $\mu$. Et en partant du terme de droite, j'ai essayé d'inverser les sommes pour obtenir $$
\sum_{\substack{d_1|k\\ d_2|k}}\mu(d_1)\mu(d_2)D_1\left(\frac{x}{d_1d_2}\right)=\sum_{n\leq x}\sum_{\substack{d_1,d_2|k\\ d_1d_2|n}}\mu(d_1)\mu(d_2)\tau(n/(d_1d_2))
$$ et ensuite d'utiliser une série de Dirichlet pour ré-exprimer le terme général de la somme sur $n$... Mais encore sans succès.
Si quelqu'un a une piste, je suis preneur !
Par avance merci,
Jérémy
Réponses
-
L'idée est bonne.
Vu la teneur de ton message, je suppose que tu connais les notations en vigueur en arithmétique.
Le membre de droite est égal à
$$\sum_{\substack{med \leqslant x \\ d \mid k \\ e \mid k}} \mu(d) \mu(e) \tau(m) = \sum_{n \leqslant x} \sum_{\substack{ed \mid n \\ d \mid k \\ e \mid k}} \mu(d) \mu(e) \tau \left( \frac{n}{ed} \right) = \sum_{n \leqslant x} \left( \mu \mathbf{1}_k \star \mu \mathbf{1}_k \star \tau \right) (n)$$
où $f \star g$ désigne l'usuel produit de convolution de Dirichlet de $f$ et $g$ et $\mathbf{1}_k (m) = 1$ si $m \mid k$ et $0$ sinon. Si $L(s,f)$ désigne la série de Dirichlet formelle de $f$, alors d'une part
$$L \left(s, \mathbf{1}_{(\cdot,k)=1} \tau \right) = \zeta(s)^2 \prod_{p \mid k} \left( 1 - \frac{1}{p^s} \right)^2$$
et, d'autre part
$$L \left( s , \mu \mathbf{1}_k \right) = \prod_{p \mid k} \left( 1 - \frac{1}{p^s} \right)$$
de sorte que
$$L \left( s, \mu \mathbf{1}_k \star \mu \mathbf{1}_k \star \tau \right) = L \left( s , \mu \mathbf{1}_k \right)^2 L(s,\tau) = \zeta(s)^2 \prod_{p \mid k} \left( 1 - \frac{1}{p^s} \right)^2 = L \left(s, \mathbf{1}_{(\cdot,k)=1} \tau \right) .$$ -
Bonjour,
Je n'avais effectivement pas pensé à exprimer $L(s, 1_{(.,k)=1}\tau)$ comme le produit de $\zeta^2$ et de ce produit sur les facteurs premiers de $k$.
Merci de cette réponse,
Jérémy -
De rien ! (tu)
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Bonjour!
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