Somme de fonctions nombre de diviseurs

L'idée est bonne.

Vu la teneur de ton message, je suppose que tu connais les notations en vigueur en arithmétique.

Le membre de droite est égal à
$$\sum_{\substack{med \leqslant x \\ d \mid k \\ e \mid k}} \mu(d) \mu(e) \tau(m) = \sum_{n \leqslant x} \sum_{\substack{ed \mid n \\ d \mid k \\ e \mid k}} \mu(d) \mu(e) \tau \left( \frac{n}{ed} \right) = \sum_{n \leqslant x} \left( \mu \mathbf{1}_k \star \mu \mathbf{1}_k \star \tau \right) (n)$$
où $f \star g$ désigne l'usuel produit de convolution de Dirichlet de $f$ et $g$ et $\mathbf{1}_k (m) = 1$ si $m \mid k$ et $0$ sinon. Si $L(s,f)$ désigne la série de Dirichlet formelle de $f$, alors d'une part
$$L \left(s, \mathbf{1}_{(\cdot,k)=1} \tau \right) = \zeta(s)^2 \prod_{p \mid k} \left( 1 - \frac{1}{p^s} \right)^2$$
et, d'autre part
$$L \left( s , \mu \mathbf{1}_k \right) = \prod_{p \mid k} \left( 1 - \frac{1}{p^s} \right)$$
de sorte que
$$L \left( s, \mu \mathbf{1}_k \star \mu \mathbf{1}_k \star \tau \right) = L \left( s , \mu \mathbf{1}_k \right)^2 L(s,\tau) = \zeta(s)^2 \prod_{p \mid k} \left( 1 - \frac{1}{p^s} \right)^2 = L \left(s, \mathbf{1}_{(\cdot,k)=1} \tau \right) .$$

De rien ! (tu)