Arithmétique : 2006 et 2007

Salut
Le quotient est le même.

Une estimation au petit doigt levé donne raison à babsgueye : le quotient est à peu près $\dfrac{a\times b^{2006}} {b^{2007}}=\dfrac{a}{b}$.
Mais un examen plus attentif lui donne raison aussi...

Eh bien, comme d'habitude. Pour pouvoir l'exploiter, il faut commencer par écrire l'hypothèse, c'est-à-dire la division euclidienne de $a-1$ par $b$, c'est-à-dire \[a-1=qb+r\quad\text{avec}\quad 0\le r<b.\]Puis on regarde ce que l'on veut : le quotient de $ab^{2006}$ par $b^{2007}$, c'est-à-dire le $q'$ tel que pour $r'$ convenable, on ait\[ab^{2006}-1=q'b^{2007}+r'.\]On espère en plus que $q'=q$, ça facilite. Qu'est-ce qu'on peut faire ? Remplacer $a$ par... dans $ab^{2006}$, en déduire $r'=\cdots$ et il n'y a plus qu'à montrer que $r'<b^{2007}$.

Ça avance ! Tu veux démontrer une inégalité, pourquoi n'utiliserais-tu pas l'inégalité dont tu disposes, à savoir : $r\le b-1$ ?

Voilà ! Sauf qu'il faudrait remplacer les signes d'implication par des « donc » (et le symbole non standard $\prec$ par $<$). Pourquoi ? Parce que « $A\implies B$ » revient à dire « si $A$ est vraie, alors $B$ est vraie » et donc à la fin de la phrase, on ne sait toujours pas si $B$ est vraie ; au contraire, « $A$ donc $B$ » signifie « $A$ est vraie, il est plus ou moins évident que $A\implies B$ et donc $B$ est vraie ».

J'attire ton attention sur un point qui t'a peut-être paru anodin : plus haut, j'ai écrit l'inégalité dans la division euclidienne : $0\le r<b$ ; dans cette indication, j'ai écrit $r\le b-1$. Comme il s'agit d'entiers, ces deux propriétés sont bien équivalentes. Mais si tu utilises la première pour la majoration du reste, ça coince.

Voici comment on peut écrire les choses. On part de $a-1=bq+r$ avec $0\le r<b$. On écrit alors : \[ab^{2006}-1=(bq+r+1)b^{2006}-1=qb^{2007}+\underbrace{(r+1)b^{2006}-1}.\]Le « vieux » quotient $q$ apparaît tout seul et pour conclure, il n'y à qu'à montrer qu'en posant $r'=(r+1)b^{2006}-1$, on a $r'<b^{2007}$. Si on utilise $r\le b-1$, ça va tout seul [(r+1)b^{2006}-1\le b\times b^{2006}\le b^{2007}-1\] et c'est gagné. Si on utilise l'inégalité $r<b$, on tire seulement : \[(r+1)b^{2006}-1<b^{2007}+b^{2006}-1\] et on ne peut pas conclure ! Et en effet, si $r$ n'est pas un entier, il peut très bien arriver que $r<b$ et $(r+1)b^{2006}-1>b^{2007}$ (exercice : trouver un tel $r$).