Formule $1/\zeta(s)$

Robusta · June 2018

Bonjour

Savez-vous où je pourrais trouver l’étude de la formule lue ici http://oeis.org/A106398 :
$1/\zeta(s) =1 - 1/2^s - 1/3^s - 1/5^s + 1/6^s +\ldots$
(liste de quadratfrei à http://oeis.org/A005117 et non là il me semble, http://oeis.org/A087246 selon le commentaire ... erreur corrigée maintenant sur OEIS)
et savez-vous d’où viennent ces termes
$1, -1, -6, -19, -39, -66, -98, -129, -172, -330, -908, -2502, -5955, -12107 \quad ?$
Merci pour votre aide.

ev · June 2018

Convolution des fonctions arithmétiques ?

e.v.

Robusta · June 2018

Si je pouvais aussi avoir un exemple numérique de la transformation binomiale des dénominateurs, ce serait plus intelligible pour moi.Merci

claude quitté · June 2018

Hello,
Je crois comprendre, in https://ac.els-cdn.com/S0022314X0600223X/1-s2.0-S0022314X0600223X-main.pdf?_tid=63eb30ac-e8a5-4730-b661-b3dc0b62e6c5&acdnat=1529237136_800e883ce1f876c28428248fbcf048ef, que la trransformée binomiale d'une suite $(a_n)_{n \ge 0}$ est la suite $(b_n)_{n \ge 0}$ définie par :
$$
b_n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k
$$
Attention au petit décalage d'une unité pour les tableaux indexés à partir de 1 :

BinomialTransform := func < a | [&+[Binomial(n,k) * a[k+1] : k in [0..n]] : n in [0..#a-1]] > ;

Ensuite, je vois un patacaisse dans la doc de l'OEIS entre squarefree deficient numbers versus squarefree numbers. Au PIF, je laisse tomber deficient.

> N := 50 ;                                                                                                
> SignedSquarefreeNumbers := [MoebiusMu(n)*n : n in [1..N] | IsSquarefree(n)] ;                            
> SignedSquarefreeNumbers ;
[ 1, -2, -3, -5, 6, -7, 10, -11, -13, 14, 15, -17, -19, 21, 22, -23, 26, -29, -30, -31, 33, 34, 35, -37, 38, 39, -41, -42, -43, 46, -47 ]
> BinomialTransform(SignedSquarefreeNumbers) ;
[ 1, -1, -6, -19, -39, -66, -98, -129, -172, -330, -908, -2502, -5955, -12107, -21447, -34063, -50415, -72754, -104236, -136279, -103796, 
222458, 1424920, 4630232, 11295484, 21347890, 26638757, -6669206, -178424687, -735476377, -2213929254 ]

Robusta · June 2018

Merci beaucoup , je disparais quelques heures.

Robusta · June 2018

Cette formule $1/\zeta(s) =1 - 1/2^s - 1/3^s - 1/5^s + 1/6^s$ est-elle connue ?
Je l'ai retrouvée sur "Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics" cité par (rectification du lien) http://oeis.org/A106398
C'est intéressant à plus d'un titre, car on retrouve ces valeurs dans Prime Zêta http://mathworld.wolfram.com/PrimeZetaFunction.html
En effet, figure en haut à gauche, la fonction P(s) "a des points singuliers le long de l'axe réel pour s = 1/k où k passe tous les entiers positifs sans facteur carré"

Sylvain · June 2018

Oui elle est connue mais son domaine de validité est conjectural (demi-plan de partie réelle supérieure à 1/2 si et seulement si RH est vraie).

Robusta · June 2018

Merci Sylvain, la suite que je n'arrive pas à poster :
Liens du haut vers le bas :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Abs[Im(primezeta(1/14+++0.000001))+−+Im(primezeta(1/14+−+0.000001))]+;+Abs[-2323π/30030+-(-+89π/15015)]+;+pi/14
Lien rectifié
https://bit.ly/2IgDgG5, soit http://www.wolframalpha.com/input/?i=π+Sum[MoebiusMu[k]/k+,+{k,+1,+21}] ; cad que le résultat est identique avec ou sans facteurs carrés 77248

Robusta · June 2018

PrimeZeta, figure annotée
Le signe de (1, -2, -3, -5, 6, -7, 10, -11, -13, 14, 15, -17, -19, 21, 22, -23, 26, -29, -30, -31, 33, 34, 35, -37, 38, 39, -41, ...) correspond à la descente (signe -) ou à la montée (signe +) de la partie imaginaire de P(s) de droite à gauche (de s=1 vers 0), exemple pour s=1/k=1/19 = 0.0526 http://www.wolframalpha.com/input/?i=primezeta(s)+;+s=1/20+to+1/18 le signe affecté est "-" par la règle de Möbius http://www.wolframalpha.com/input/?i=MoebiusMu[19]*pi/19+;+Im(primezeta(1/19+-+0.000001))+−+Im(primezeta(1/19+++0.000001))

Accessoirement on peut observer que, pour Primezeta(s) aux zéros non-triviaux de Zeta(s), les sauts de la partie imaginaire sont égaux à $\pi$.
En effet $Im(primezeta(zetazero(n) + i\epsilon)) - Im(primezeta(zetazero(n) - i\epsilon))\simeq \pi$ ( exemple ) et comme
$P(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\mu(k)}{k}log(\zeta(ks))$ , calcul intermédiaire,
alors (sauf erreur) à l'approche des zéros non triviaux et de leur singularité on a $\frac{\zeta(\rho(n)+i\epsilon)}{\zeta(\rho(n)-i\epsilon)} \simeq e^{(i\pi)} = -1$ 77252

Formule $1/\zeta(s)$

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