Formule $1/\zeta(s)$
dans Arithmétique
Bonjour
Savez-vous où je pourrais trouver l’étude de la formule lue ici http://oeis.org/A106398 :
$1/\zeta(s) =1 - 1/2^s - 1/3^s - 1/5^s + 1/6^s +\ldots$
(liste de quadratfrei à http://oeis.org/A005117 et non là il me semble, http://oeis.org/A087246 selon le commentaire ... erreur corrigée maintenant sur OEIS)
et savez-vous d’où viennent ces termes
$1, -1, -6, -19, -39, -66, -98, -129, -172, -330, -908, -2502, -5955, -12107 \quad ?$
Merci pour votre aide.
Savez-vous où je pourrais trouver l’étude de la formule lue ici http://oeis.org/A106398 :
$1/\zeta(s) =1 - 1/2^s - 1/3^s - 1/5^s + 1/6^s +\ldots$
(liste de quadratfrei à http://oeis.org/A005117 et non là il me semble, http://oeis.org/A087246 selon le commentaire ... erreur corrigée maintenant sur OEIS)
et savez-vous d’où viennent ces termes
$1, -1, -6, -19, -39, -66, -98, -129, -172, -330, -908, -2502, -5955, -12107 \quad ?$
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Réponses
e.v.
Je crois comprendre, in https://ac.els-cdn.com/S0022314X0600223X/1-s2.0-S0022314X0600223X-main.pdf?_tid=63eb30ac-e8a5-4730-b661-b3dc0b62e6c5&acdnat=1529237136_800e883ce1f876c28428248fbcf048ef, que la trransformée binomiale d'une suite $(a_n)_{n \ge 0}$ est la suite $(b_n)_{n \ge 0}$ définie par :
$$
b_n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k
$$
Attention au petit décalage d'une unité pour les tableaux indexés à partir de 1 :
Ensuite, je vois un patacaisse dans la doc de l'OEIS entre squarefree deficient numbers versus squarefree numbers. Au PIF, je laisse tomber deficient.
Je l'ai retrouvée sur "Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics" cité par (rectification du lien) http://oeis.org/A106398
C'est intéressant à plus d'un titre, car on retrouve ces valeurs dans Prime Zêta http://mathworld.wolfram.com/PrimeZetaFunction.html
En effet, figure en haut à gauche, la fonction P(s) "a des points singuliers le long de l'axe réel pour s = 1/k où k passe tous les entiers positifs sans facteur carré"
Liens du haut vers le bas :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Abs[Im(primezeta(1/14+++0.000001))+−+Im(primezeta(1/14+−+0.000001))]+;+Abs[-2323π/30030+-(-+89π/15015)]+;+pi/14
Lien rectifié
https://bit.ly/2IgDgG5, soit http://www.wolframalpha.com/input/?i=π+Sum[MoebiusMu[k]/k+,+{k,+1,+21}] ; cad que le résultat est identique avec ou sans facteurs carrés
Le signe de (1, -2, -3, -5, 6, -7, 10, -11, -13, 14, 15, -17, -19, 21, 22, -23, 26, -29, -30, -31, 33, 34, 35, -37, 38, 39, -41, ...) correspond à la descente (signe -) ou à la montée (signe +) de la partie imaginaire de P(s) de droite à gauche (de s=1 vers 0), exemple pour s=1/k=1/19 = 0.0526 http://www.wolframalpha.com/input/?i=primezeta(s)+;+s=1/20+to+1/18 le signe affecté est "-" par la règle de Möbius http://www.wolframalpha.com/input/?i=MoebiusMu[19]*pi/19+;+Im(primezeta(1/19+-+0.000001))+−+Im(primezeta(1/19+++0.000001))
Accessoirement on peut observer que, pour Primezeta(s) aux zéros non-triviaux de Zeta(s), les sauts de la partie imaginaire sont égaux à $\pi$.
En effet $Im(primezeta(zetazero(n) + i\epsilon)) - Im(primezeta(zetazero(n) - i\epsilon))\simeq \pi$ ( exemple ) et comme
$P(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\mu(k)}{k}log(\zeta(ks))$ , calcul intermédiaire,
alors (sauf erreur) à l'approche des zéros non triviaux et de leur singularité on a $\frac{\zeta(\rho(n)+i\epsilon)}{\zeta(\rho(n)-i\epsilon)} \simeq e^{(i\pi)} = -1$