Cardinal de {n | (n+4)/(n-4) € Z}

Moboeus · June 2018

Bonjour,

Je cherche le cardinal de ce rapport tel que le rapport soit un entier relatif j'écris l'équivalent: n=[4(k+1)/(k-1)] je trouve donc 6 diviseurs de n: 1, 2, 4 et leur opposé ce qui me donne la valeur de k puis ensuite de n. Mais selon le corrigé du QCM, il y aurait 8 valeurs donc 2 manquantes...

Math Coss · June 2018

Pas très clair... Il m'a fallu 5 min pour comprendre que $\pm1$, $\pm2$ ou $\pm4$, c'était la valeur de $k-1$. Ces valeurs donnent en effet six valeurs de $n$ convenables, à savoir $12$, $8$, $6$, $-4$, $0$ et $2$.

Mais si cette interprétation est correcte, elle repose sur un argument faux : $k-1$ divise $4(k+1)$ donc $k-1$ divise $4$.

Tu as certainement dans ton cours un théorème qui ressemble à ça mais il manque une hypothèse : vois-tu quel théorème ? et quelle hypothèse ?

Moboeus · June 2018

Pourtant en supposant k-1 divise 4 je trouve des bonnes valeurs de n.
Non je ne vois pas de quel théorème tu fais référence, peut être est-ce celui la: c divise ab => c divisé a ou b avec a,b premiers

Math Coss · June 2018

Oui, des bonnes valeurs mais pas toutes.
La raison pour laquelle ce sont de bonnes valeurs, c'est que si $k-1$ divise $4$, alors $k-1$ divise $4(k+1)$.
La raison pour laquelle tu ne les trouves pas toutes, c'est que la réciproque est fausse en général.

Je te suggère de faire un peu plus attention aux détails. Enfin, détails... Prenons par exemple $c=6$, $a=2$ et $b=3$. Il est vrai que $c$ divise $ab$, n'est-ce pas ? D'après ton théorème, j'en déduis que $6$ divise $2$ ou que $6$ divise $3$, c'est ça ?

bisam · June 2018

A vrai dire, il est quand même bien plus simple de dire que si (n+4)/(n-4) est entier alors n-4 divise ((n+4)-(n-4))=8... et de conclure directement car les 8 valeurs que l'on obtient conviennent toutes.

Math Coss · June 2018

Bien sûr mais ce n'est pas moi qui ai commencé...

Moboeus · June 2018

Math coss vous pensiez à quel théorème, je n'ai pas encore étudié le cours d'arithmétique et en le survolant je n'ai pas trouvé.

Math Coss · June 2018

Ça s'appelle en général le lemme de Gauss : si $a$ est premier avec $b$ et si $a$ divise $bc$, alors $a$ divise $c$.

NB : Inventer un théorème à la demande, c'est prendre des risques – limités sur un forum, un peu plus dans n'importe quelle évaluation.

Bon, que vas-tu faire ? Continuer avec la méthode que tu as commencée ou saisir la proposition de bisam ?

Moboeus · June 2018

Je trouve effectivement que la méthode de Bisam marche mieux sur tous les plans, mais je voudrais bien finir avec la première idée.

Math Coss · June 2018

Eh bien, en avant !
Tu cherches donc une condition pour que $k-1$ divise $4(k+1)$.

Si $k-1$ est premier avec $k+1$, le lemme de Gauss permet de continuer comme tu l'as fait : $k-1$ divise $4$ donc $k$ s'obtient en ajoutant $1$ à un élément de $\{\pm1,\pm2,\pm4\}$.

Sinon, quoi qu'il arrive, $k-1$ et $k+1$ ne sont jamais très loin d'être premiers entre eux : quel peut être leur pgcd en effet ?

Moboeus · June 2018

Leur pgcd sera égal à 1 mais je ne pourrais pas finir, je me suis arrêté à si k-1 divise k+1 on peut écrire
k +1=j(k-1) <=> k =(j+1)/(j-1) et j'ai retrouvé par tâtonnements les valeurs possibles de k. En l'occurrence 0, -1, 2 et 3, les mêmes que déjà trouvé, je tourne en rond là...

Math Coss · June 2018

Pour $k=12$, le pgcd de $11$ et $13$ est bien $1$.
Pour $k=13$, le pgcd de $12$ et $14$ est bien $1$. Euh, non, c'est $2$.

jean-éric · June 2018

Bonsoir

En général dans ce genre d'exercice l'idée (qui revient à l'argument de Bisam) est de transformer :
$$ \frac{n+4}{n-4}=\frac{n-4+8}{n-4}=1+\frac{8}{n-4}.
$$ Il ne reste plus qu'à traiter le cas où $\frac{8}{n-4}$ est entier soit encore de lister les diviseurs de 8 dans $\mathbb{Z}$, là c'est du gâteau !

On peut écrire de manière identique $$ \frac{4(k+1)}{k-1}=\frac{4k-4+8}{k-1}=4+\frac{8}{k-1},$$ et le fait que le numérateur de la dernière fraction soit constant permet de conclure rapidement sans invoquer le PGCD, le théorème de Gauss etc...
Cordialement.
Jean-éric

Math Coss · June 2018

Décidément, personne ne veut laisser Moboeus terminer tranquille !

Moboeus · June 2018

Alors n= 4(k+1)/(k-1), supposons pgcd (k+1;k-1)=2: n=4*2j/(k-1), j€Z donc 8 et-8 divise n donc on prend k=-7 et k=9 qui donnent n =3 et n =5.
Merci.

Math Coss · June 2018

Reste un petit point pas clair pour l'instant : pourquoi est-ce que le pgcd de $k-1$ et $k+1$ est nécessairement $1$ ou $2$ ?

Ce n'est pas un grand mystère. On peut remarquer cependant que ça renvoie à l'idée de bisam reprise en variation par jean-éric : il semble qu'on ne puisse pas s'en passer.

Cardinal de {n | (n+4)/(n-4) € Z}

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